Matrices y arreglos

Las matrices, vectores y cualquier fórmula dispuesta en una cuadrícula se componen con los entornos de matrices del paquete amsmath (pmatrix y afines) o con el entorno más general array. Ambos se escriben de forma parecida: las entradas se separan con & en horizontal y con \\ para pasar a la siguiente fila. Se diferencian en los delimitadores que añaden y en la libertad para controlar la alineación. Esta página recorre la familia de entornos de matrices y cuándo usar cada uno, el entorno array para elegir alineación de columnas y reglas, cómo construir una matriz aumentada y los puntos \cdots, \vdots, \ddots que indican “y así sucesivamente” dentro de una matriz.

Los entornos de matrices de amsmath

La forma más sencilla de componer una matriz es la familia de entornos que proporciona el paquete amsmath; basta poner \usepackage{amsmath} en el preámbulo. Todos se usan dentro del modo matemático, con entradas separadas en una fila por & y filas terminadas con \\. Lo único que cambia entre ellos es el delimitador que rodea la matriz; el contenido se escribe igual.

Los nombres siguen un patrón. La primera letra indica el delimitador: p para parentheses, b para brackets, v para vertical bar. Las formas con inicial mayúscula Bmatrix y Vmatrix dan los delimitadores más fuertes: llaves y barras dobles. El entorno matrix sin prefijo no añade ningún delimitador.

El ejemplo siguiente compone el mismo contenido 2×2 con pmatrix, bmatrix y vmatrix. Los espacios y saltos de línea alrededor de \\ no afectan a la salida, así que puedes formatear el código fuente para que sea legible.

\[
  \begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{pmatrix}
  \quad
  \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix}
  \quad
  \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{vmatrix}
\]

La salida muestra tres matrices 2×2 centradas en su propia línea, separadas por \quad: la primera entre paréntesis, la segunda entre corchetes y la tercera flanqueada por barras verticales como determinante. Las entradas van centradas, y a, b, c, d se componen en cursiva como variables.

Ten en cuenta que las entradas de los entornos de matrices siempre están centradas; no puedes pedir columnas alineadas a la derecha o a la izquierda. Cuando necesites elegir la alineación, usa el entorno array descrito más abajo o las variantes con estrella (pmatrix*, bmatrix*, etc.) del paquete mathtools. Esas formas toman un argumento opcional [r], [c] o [l] que alinea todas las columnas así, por ejemplo \begin{pmatrix*}[r] … \end{pmatrix*}.

El límite de columnas (MaxMatrixCols)

Por defecto, los entornos de matrices de amsmath permiten como máximo 10 columnas. Esto se debe a que el contador MaxMatrixCols empieza con el valor 10. Si intentas componer una matriz de once columnas o más, aparece un error por exceso de columnas.

Cuando necesites más columnas, aumenta el límite con \setcounter{MaxMatrixCols}{n}. Por ejemplo, para permitir hasta 20 columnas, escribe lo siguiente. Los valores mayores hacen trabajar más a LaTeX, pero en los sistemas TeX actuales un valor alrededor de 20 apenas tiene impacto práctico. Para restaurar el original, vuelve a poner el valor en 10.

\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\[
  \begin{pmatrix}
    a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{12}
  \end{pmatrix}
\]

Este límite solo afecta a los entornos de matrices de amsmath, no al entorno array descrito a continuación; con array simplemente enumeras tantas columnas como necesites en la especificación de columnas.

El entorno array

El entorno array es una cuadrícula general en la que eliges tú mismo la alineación y las reglas. Es la contraparte en modo matemático del entorno tabular usado para tablas de texto, y solo puede usarse en modo matemático (dentro de \[ \] o de un entorno equation). Las entradas se separan con & y \\ igual que en tabular, pero cada entrada se compone como matemática, en estilo de texto.

El entorno array toma un argumento obligatorio: la especificación de columnas. Escribes una letra de alineación por columna, como en {ccc}: l para izquierda, c para centrado, r para derecha. Poner | entre letras dibuja una regla vertical en esa posición. Así, {l|c|r} significa tres columnas: izquierda, regla, centrada, regla, derecha.

array no añade ningún delimitador propio. Para envolverlo como una matriz, enciérralo a mano con \left( … \right) (o \left[ … \right], etc.). Como \left y \right estiran el delimitador hasta la altura del contenido, los paréntesis abarcan limpiamente toda la matriz aunque tenga muchas filas. Es la versión manual de lo que los entornos de matrices de amsmath hacen internamente.

\[
  \left(\begin{array}{rrr}
    1 & -2 & 3 \\
    0 & 5 & -1 \\
    4 & 0 & 2
  \end{array}\right)
\]

Este ejemplo produce una matriz 3×3 entre paréntesis. Como la especificación de columnas es {rrr}, todas las columnas quedan alineadas a la derecha, de modo que entradas negativas como -2 y -1 se alinean por la derecha y se leen con claridad. La clave es que, a diferencia de pmatrix (siempre centrado), array permite elegir la alineación.

Matrices aumentadas (con regla)

En una matriz aumentada, como la que representa un sistema de ecuaciones lineales, a menudo quieres una regla vertical en medio. Los entornos de amsmath como bmatrix no toman especificación de columnas y por tanto no pueden dibujarla, pero el | en una especificación de array sí puede. Usa una especificación con | entre las columnas de coeficientes y la columna constante, por ejemplo {cc|c}, y envuelve todo con \left[ … \right].

\[
  \left[\begin{array}{cc|c}
    1 & 2 & 5 \\
    3 & 4 & 6
  \end{array}\right]
\]

Esto produce una matriz aumentada entre corchetes: dos filas con una regla vertical entre la segunda y la tercera columna. El 1 2 / 3 4 de la izquierda es la matriz de coeficientes y el 5 / 6 a la derecha de la regla es la columna constante. Como \left[ y \right] estiran los corchetes a la altura del contenido, se mantiene bien al añadir filas.

Para hacer lo mismo con paréntesis, cambia a \left( … \right); con llaves, a \left\{ … \right\}. El paquete mathtools también ofrece formas más limpias de escribir estas matrices aumentadas.

Puntos dentro de matrices (…, ⋮, ⋱)

Para escribir una matriz general n×n necesitas los puntos suspensivos que significan “y así sucesivamente”. LaTeX ofrece cuatro variantes, con direcciones distintas, y se eligen según dónde aparezcan en la matriz. Todas son órdenes de modo matemático.

• \cdots — puntos horizontales a la altura central (⋯), para omitir entradas en una fila. Quedan a la altura de + y =, lo que conviene a una secuencia horizontal.
• \vdots — puntos verticales (⋮), para omisiones bajando por una columna.
• \ddots — puntos diagonales que descienden hacia la derecha (⋱), para omisiones a lo largo de la diagonal principal.
• \ldots (y el \dots dependiente del contexto) — puntos horizontales sobre la línea base (…), para secuencias de números o subíndices. Dentro de una matriz, \cdots suele verse mejor.

El uso estándar es colocar \cdots para la omisión horizontal, \vdots para la vertical y \ddots para la diagonal, cada uno como una entrada de la matriz. Abajo está la forma canónica de escribir una matriz general n×n con pmatrix.

\[
  A =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
  \end{pmatrix}
\]

Esto produce una matriz m×n entre paréntesis. En la primera, segunda y última filas, el \cdots de la tercera columna rellena el hueco entre a_{12} y a_{1n} con puntos horizontales a media altura; en la tercera fila, los \vdots dan puntos verticales en cada columna y el \ddots en la posición diagonal da puntos que descienden hacia la derecha. Juntos indican que filas y columnas continúan del mismo modo. Subíndices como a_{11} se componen con _.

Para llenar una fila completa con puntos, \hdotsfor{n} de amsmath abarca las n columnas indicadas con una fila de puntos horizontales.

Matrices pequeñas en línea (smallmatrix)

Insertar pmatrix y similares en matemática en línea ($ … $ dentro del texto) aumenta la altura de la línea y altera el interlineado. Para incrustar una matriz pequeña en el flujo del texto, usa el entorno smallmatrix de amsmath. Compone las entradas pequeñas y compactas, y apenas cambia la altura de línea.

smallmatrix no añade delimitador propio, así que envuélvelo a mano si necesitas uno, por ejemplo \bigl( … \bigr). También puedes usar \left( \right), pero en línea los tamaños fijos \bigl y \bigr suelen alterar menos el interlineado.

回転行列 $\bigl(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\bigr)$ を考える。

Esto compone una pequeña matriz de rotación 2×2 entre paréntesis dentro de una sola línea de texto, sin alterar mucho la altura de línea. \cos y \sin se componen en redonda como nombres de función.