Fracciones, raíces y exponentes

Las fracciones, raíces y coeficientes binomiales son piezas prototípicas de la composición matemática que crecen verticalmente más allá de la altura de las letras. El comando básico \frac cambia automáticamente de tamaño según dónde esté (en texto corriente o en una línea display). Pero a menudo no da el aspecto deseado, y ahí entran \dfrac, \tfrac y \cfrac de amsmath, la familia \binom y las fracciones con barra oblicua \nicefrac / \sfrac. Esta página ordena, uno por uno, qué produce cada comando, qué paquete necesita y cuándo elegirlo.

La fracción básica, \frac

El comando básico para una fracción es \frac{numerador}{denominador}. Es una función de LaTeX básico (core LaTeX) y funciona sin cargar amsmath. El primer argumento es el numerador y el segundo el denominador; LaTeX dibuja una barra horizontal (vinculum) entre ambos, con el numerador arriba y el denominador abajo. Por ejemplo, \frac{1}{2} da un medio: 1 arriba y 2 abajo, separados por la barra.

Una propiedad clave de \frac es que su tamaño cambia automáticamente según el contexto circundante (el estilo). En matemáticas en línea incrustadas en el texto (estilo de texto), el numerador y el denominador se componen pequeños y compactos para no alterar demasiado la altura de línea. Pon la misma expresión en su propia línea display con \[ … \] y se compone grande, con espacio. El ejemplo siguiente muestra cómo el mismo \frac{a+b}{c} cambia en línea frente a display.

本文中では小さく組まれる: $\frac{a+b}{c}$ のように。

\[
  \frac{a+b}{c}
\]

La primera se imprime como una fracción contenida que cabe dentro de la línea; la segunda como una fracción grande centrada en su propia línea. Las fracciones también pueden anidarse: escribe otro \frac en el numerador o denominador para construir una fracción de varios niveles. Ten en cuenta, sin embargo, que una fracción anidada interna se compone en un estilo aún más pequeño que la externa, así que cuanto más profunda sea, más difícil será leerla.

\[
  \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}
\]

Aquí se compone una fracción de dos niveles, con otra fracción \frac{1}{x} dentro del denominador. Observa que el \frac{1}{x} interno se compone un paso más pequeño que el externo. Cuando quieras mantener todos los niveles del mismo tamaño en un anidamiento profundo, usa \dfrac (sección siguiente) o el comando dedicado para fracciones continuas \cfrac.

Forzar el tamaño: \dfrac y \tfrac

El tamaño automático de \frac a veces resulta inconveniente. Puede que quieras mostrar una fracción en texto corriente a tamaño completo de display en vez de comprimida; o, al contrario, mantener compacta solo una fracción dentro de una fórmula en display. Los comandos que cubren esa necesidad de “fijar el estilo” son \dfrac y \tfrac, proporcionados por el paquete amsmath (ambos requieren \usepackage{amsmath}).

Según la guía de usuario de amsmath, \dfrac es una abreviatura cómoda de {\displaystyle\frac ... }, y \tfrac de {\textstyle\frac ... }. Por tanto, \dfrac{…}{…} se compone siempre en tamaño display (fracción grande), sin importar dónde esté, mientras que \tfrac{…}{…} se compone siempre en tamaño de texto (fracción pequeña). Los argumentos son exactamente los mismos que en \frac: primero el numerador y luego el denominador.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
本文中でもフルサイズの分数: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$。

\[
  \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
\]

El \dfrac{\partial f}{\partial x} en línea se compone como una fracción de derivada parcial a tamaño completo de display incluso dentro de la línea de texto (lo que, a cambio, aumenta la altura de línea). En el ejemplo display, anidar \dfrac mantiene las fracciones exterior e interior del mismo tamaño, haciéndolo más legible que anidar \frac (donde la interior se reduce). Una guía aproximada para elegir:

• \frac: la opción habitual, cuando quieres que el tamaño natural dependa del contexto.
• \dfrac: cuando quieres que una fracción en texto corriente se muestre a tamaño completo en vez de comprimida, o mantener todos los niveles de un anidamiento del mismo tamaño.
• \tfrac: cuando quieres que solo una fracción dentro de una fórmula display se componga pequeña y compacta, por ejemplo casi como un exponente o subíndice.

Fracciones continuas, \cfrac

Si construyes una fracción continua —donde el denominador contiene otra fracción, una y otra vez— anidando \frac, el tipo se reduce en cada nivel hasta volverse ilegible. El comando \cfrac{numerador}{denominador} del paquete amsmath está diseñado para esto. Apila cada nivel uniformemente a tamaño display, de modo que el tamaño no cambia por profunda que sea la anidación. Úsalo siempre para fracciones continuas.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}
\]

Esto compone la fracción continua 1 + (una fracción …) con cada nivel \cfrac apilado verticalmente al mismo tamaño. El \cdots final es la elipsis centrada de tres puntos (…) que indica “y así sucesivamente”. Contrasta claramente con escribir lo mismo usando \frac, donde cada nivel interior saldría más pequeño.

El comando \cfrac admite un argumento opcional de alineación. En palabras de la guía de usuario de amsmath, la colocación izquierda o derecha de un numerador se especifica usando \cfrac[l] o \cfrac[r] en lugar de \cfrac. [l] alinea el numerador a la izquierda y [r] a la derecha; si no se da nada, queda centrado (valor predeterminado). Como el ancho del denominador cambia de nivel a nivel en una fracción continua, este argumento resulta útil cuando quieres alinear horizontalmente los numeradores.

\[
  \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2}}}
\]

En este ejemplo, cada numerador 1 se coloca alineado con el extremo izquierdo de su barra de fracción (por defecto quedaría centrado).

Coeficientes binomiales, \binom

Un coeficiente binomial (el número de combinaciones), “elegir k de n”, se escribe como una pila vertical sin barra encerrada entre paréntesis. El comando \binom{n}{k} del paquete amsmath lo produce: n arriba y k abajo, apilados sin barra, todo envuelto en paréntesis ( ) del tamaño correcto. A diferencia de \frac, no se dibuja barra de fracción.

Así como \frac tiene \dfrac / \tfrac, \binom tiene compañeros para fijar el tamaño: \dbinom{n}{k} siempre se compone a tamaño display y \tbinom{n}{k} siempre a tamaño de texto. Ambos requieren amsmath.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]

Es una ecuación con, a la izquierda, un coeficiente binomial (n sobre k) envuelto en paréntesis grandes, y a la derecha una fracción de factoriales (n! dividido por k!(n−k)!). El \, de la derecha es el comando de espacio fino que inserta un pequeño hueco entre los factoriales.

En fuentes antiguas y en estilo plain TeX, a veces se escribe un coeficiente binomial como {n \choose k}. Eso usa la primitiva de fracciones generalizadas de TeX, pero hoy el estándar es \binom de amsmath. Los comandos relacionados \over, \atop y \above (fracciones generalizadas con barra / sin barra / con grosor de regla especificado) también emiten advertencias una vez cargado amsmath, y la guía recomienda usar \frac o \genfrac en su lugar. \genfrac{delim-izq}{delim-der}{grosor}{estilo}{numerador}{denominador} es el comando general de amsmath para controlar de una vez la apariencia de estas fracciones y binomiales; \frac, \binom y \cfrac están construidos sobre este mecanismo. El cuarto argumento (estilo) es un entero 0–3 que selecciona \displaystyle, \textstyle, \scriptstyle y \scriptscriptstyle respectivamente (déjalo vacío para seguir el contexto). Por ejemplo, \binom se define internamente como \genfrac{(}{)}{0pt}{}{…}{…}, logrando su aspecto sin barra al fijar el tercer argumento, el grosor de la regla, en 0pt.

Raíces: \sqrt y raíces n-ésimas

Una raíz cuadrada se compone con \sqrt{contenido}. Es una función de LaTeX básico; no hace falta amsmath. Imprime un signo radical (√) con una barra horizontal (vinculum) que se extiende desde la parte superior derecha para cubrir todo el contenido. El radical y la barra se escalan automáticamente a la altura y anchura del contenido, de modo que \sqrt{x} y \sqrt{x^2 + y^2} se componen cada uno con el tamaño justo.

Una raíz n-ésima (una raíz cúbica, etc.) se escribe \sqrt[n]{contenido}, dando el índice como argumento opcional entre corchetes. Un índice pequeño n se coloca en la parte superior izquierda del signo radical. Por ejemplo, una raíz cúbica es \sqrt[3]{x+y}: un 3 pequeño arriba a la izquierda del radical, con x+y bajo la barra.

\[
  \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sqrt[3]{x+y}, \qquad \sqrt[n]{a}.
\]

Esto produce una raíz cuadrada con x²+y² bajo el radical, una raíz cúbica con 3 arriba a la izquierda y una raíz n-ésima con n arriba a la izquierda, separadas por \qquad (un hueco ancho). Si alguna vez necesitas ajustar la posición o el tamaño del índice de la raíz, amsmath también ofrece comandos de ajuste con la forma \sqrt[\leftroot{…}\uproot{…}n]{…}, pero para uso normal la colocación predeterminada basta.

Componer exponentes (potencias)

Los exponentes (potencias) se componen como superíndices con el acento circunflejo ^. x^2 es “x al cuadrado”, con un 2 pequeño arriba a la derecha de x. Es una función de LaTeX básico; no se requiere ningún paquete. Cuando el exponente tenga más de un carácter, agrúpalo siempre con llaves: x^{10} da correctamente “x a la décima”, mientras que x^10 se compone, sin querer, como “x a la primera” seguido de un 0 separado.

Los exponentes, fracciones y raíces suelen combinarse, y usar los comandos vistos hasta aquí en una sola fórmula se ve así. Hacer explícito el alcance con llaves es la clave para una composición correcta.

\[
  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Esta es la fórmula cuadrática. Se compone como una fracción grande centrada en su propia línea, con “−b ± √(b²−4ac)” en el numerador y “2a” en el denominador. El b^2 bajo el radical es un cuadrado en superíndice, y \pm es el signo “±” (más-menos). Para los detalles de poner superíndice y subíndice en la misma letra (por ejemplo x^2_i) y para ajustes finos de espaciado, consulta la página separada “Índices y espaciado”.

Fracciones con barra oblicua: \nicefrac y \sfrac

A veces quieres que “un medio” en texto corriente no se componga como una pila vertical, sino pequeño e inclinado, como a/b (piensa en una unidad como “1/2”). Para esto puedes usar \nicefrac{a}{b} del paquete nicefrac. Coloca el numerador y el denominador desplazados diagonalmente alrededor de una barra, cabiendo en la línea sin alterar su altura. Este comando no está disponible por defecto: necesita \usepackage{nicefrac} en el preámbulo.

Una alternativa más nueva y recomendada es \sfrac{a}{b} del paquete xfrac. La propia descripción de nicefrac en CTAN afirma que las funciones de nicefrac las proporciona el paquete xfrac de una forma más refinada. \sfrac funciona tanto en modo texto como en modo matemático y ajusta su apariencia a la fuente con más cuidado. Para documentos nuevos, \usepackage{xfrac} con \sfrac es la opción más segura.

% nicefrac の場合: \usepackage{nicefrac}
所要時間は約 \nicefrac{3}{4} 時間です。

% xfrac の場合（推奨）: \usepackage{xfrac}
およそ $\sfrac{1}{2}$ に相当します。

En ambos casos, 3/4 y 1/2 se componen como fracciones pequeñas con barra oblicua que caben dentro de la altura de línea del texto. Una división útil: \frac o \dfrac para fracciones que quieres altas, y \sfrac (o \nicefrac) para las que quieres pequeñas e inclinadas dentro de la línea.