Sumas, integrales y operadores grandes

La sumatoria Σ, la integral ∫ y la unión de conjuntos ⋃ son símbolos especiales, compuestos grandes dentro de una fórmula y con un rango (límites) encima, debajo o al lado. LaTeX llama a esta familia operadores de tamaño variable (operadores grandes) y los produce con comandos como \sum, \int y \bigcup. El mecanismo común: un subíndice _ y un superíndice ^ se convierten en los límites del operador; en una fórmula en display se apilan encima y debajo del símbolo, pero en texto corrido van a su derecha. Esta página ordena cómo se adjuntan los límites, cómo controlar su posición (\limits, \nolimits), los subíndices multilínea y cómo definir operadores propios.

Qué son los operadores de tamaño variable

Los símbolos matemáticos son de dos tipos: los de tamaño fijo, que caben dentro de la altura de una letra (+, =, \cup, …), y los operadores de tamaño variable, que cambian de tamaño según el contexto. Los ejemplos principales son la sumatoria \sum, el producto \prod, la integral \int y la unión de conjuntos \bigcup. Se componen grandes en estilo display y compactos en estilo texto, y tratan sus subíndices y superíndices de forma especial, como límites.

Por “límites” entendemos los subíndices que expresan el rango de una suma o integral. Escribir \sum_{i=1}^{n} hace que i=1 sea el límite inferior y n el superior. Esto se maneja de forma distinta a un subíndice o superíndice ordinario (los que van abajo o arriba a la derecha, como en x_i o x^2): un script adjunto a un operador de tamaño variable puede colocarse directamente debajo y encima del símbolo. Cuál de las dos opciones obtienes depende del estilo y del tipo de símbolo; ese es el tema de la siguiente sección.

Los miembros básicos están incorporados en LaTeX estándar (en realidad en el TeX subyacente) y no necesitan paquete extra. Las integrales múltiples \iint y \iiint, el subíndice multilínea \substack de más abajo y la definición de operadores \DeclareMathOperator requieren el paquete amsmath. Como amsmath es el estándar de facto, conviene poner \usepackage{amsmath} en el preámbulo siempre que compongas matemáticas con cierta seriedad.

Sumas, productos y cómo se adjuntan los límites

La sumatoria es \sum, el producto es \prod y el coproducto es \coprod. Das el rango con un subíndice _ y un superíndice ^. En \sum_{k=0}^{n} a_k, por ejemplo, una fórmula en display compone el signo Σ grande, con k=0 directamente debajo y n directamente encima. La misma fórmula en línea mantiene Σ pequeño para no alterar la altura de línea, y coloca k=0 y n pequeños a la derecha del símbolo, uno sobre otro.

別行立て:
\[
  \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + \dots + a_n,
  \qquad \prod_{k=1}^{n} k = n!
\]

本文中: 級数 $\sum_{k=0}^{n} a_k$ は行内に収まる。

Este cambio entre arriba/abajo y lateral es el comportamiento por defecto ligado al estilo. Los símbolos de clase suma - sumatoria, producto, coproducto y similares - apilan sus límites arriba y abajo en estilo display, pero los colocan al lado en estilo texto; amsmath llama a este esquema displaylimits (límites arriba/abajo solo en display). Es un valor por defecto sensato que evita aumentar sin necesidad el interlineado del texto.

Cuando el rango tiene una sola parte, escribe solo ese script. También puedes poner una condición en el límite inferior, como \sum_{i \in S}, que en display coloca i ∈ S directamente bajo Σ. Cuando un script abarca más de un token, envuélvelo siempre en { } (como k=1 en \sum_{k=1}). Si lo olvidas y escribes \sum_k=1, solo k será subíndice y =1 quedará a la derecha del símbolo.

Integrales: límites al lado

El signo integral es \int, y su rango (los límites de integración) también se da con subíndice y superíndice. Escribir \int_a^b f(x)\,dx da una integral definida con límite inferior a y superior b. Lo importante es que las integrales se comportan por defecto de forma distinta a las sumas. Los símbolos de clase integral como \int colocan sus límites a la derecha del símbolo incluso en display. Esto sigue la convención de composición matemática: la definición de \int lleva internamente \nolimits (colocación lateral).

\[
  \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1,
  \qquad \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
\]

Incluso en display, este ejemplo coloca 0 en la parte inferior derecha y ∞ en la superior derecha de ∫ (donde una suma los apilaría arriba y abajo). El \, (espacio fino) entre el integrando y dx es el pequeño espacio convencional en tipografía matemática. Una integral de contorno (alrededor de una curva cerrada) es \oint, que dibuja un pequeño círculo sobre ∫.

Puedes componer una integral múltiple repitiendo el símbolo como \int\int, pero el espacio entre signos suele verse torpe. Al cargar amsmath tienes comandos dedicados con el espaciado optimizado: integral doble \iint, triple \iiint, cuádruple \iiiint y la integral múltiple punteada \idotsint (que coloca puntos entre dos signos de integral, como ∫⋯∫). El espaciado se ajusta tanto en línea como en display.

\[
  \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy,
  \qquad \iiint_{V} f\,dV,
  \qquad \idotsint_{A} f\,dV
\]

Si necesitas los signos de integral cerrada comunes en física - integrales de contorno dobles y triples sobre superficies y volúmenes -, el paquete esint proporciona \oiint, \oiiint y similares. De serie, solo está disponible \oint.

Cambiar la posición de los límites (\limits / \nolimits)

Puedes sobrescribir la colocación por defecto con dos comandos. Pon \limits inmediatamente después de un operador para forzar sus límites arriba y abajo, o \nolimits para forzarlos al lado. Para poner el rango de una suma arriba y abajo dentro de texto corrido, escribe por ejemplo \sum\limits_{k=1}^{n}; a la inversa, para apilar los límites de una integral en display, escribe \int\limits_0^1.

本文中で上下に: $\sum\limits_{k=1}^{n} k$

別行立ての積分を上下に:
\[
  \int\limits_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}
\]

Lo importante aquí es dónde lo colocas. \limits y \nolimits deben ir justo después del operador al que se aplican (antes de los scripts). Ponerlos después de los scripts, como en \sum_{k=1}\limits, es un error. Cuando aparecen seguidos varios \limits, \nolimits o \displaylimits, gana el último.

Para devolver un símbolo al comportamiento por defecto ligado al estilo (el displaylimits de la clase suma), usa \displaylimits. La tabla siguiente resume el valor por defecto de cada tipo de símbolo y el efecto de los comandos de sobrescritura.

Límites y cotas (familia \lim)

\lim (límite), \limsup (límite superior) y \liminf (límite inferior) son operadores compuestos rectos (romanos) como nombres de función, pero sus scripts se comportan como los de clase suma: en display el subíndice va directamente debajo, y en línea va abajo a la derecha. \limsup y \liminf se componen como las dos palabras “lim sup” y “lim inf”, con el espacio adecuado entre ellas.

\[
  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0,
  \qquad \limsup_{n \to \infty} a_n \ge \liminf_{n \to \infty} a_n
\]

Como esto está en display, n→∞ se coloca directamente bajo lim. La misma fórmula en línea pone n→∞ pequeño abajo a la derecha de lim. \sup, \inf, \max y \min pertenecen a la misma familia y colocan el subíndice debajo (también están reunidos en la sección de nombres de función de “Math mode basics”). La flecha → es \to, e infinito es \infty.

Operadores grandes (n-arios)

Los operadores n-arios usados en teoría de conjuntos, lógica y álgebra también tienen versiones “grandes” de tamaño variable, como \sum. El comando es el nombre del operador binario correspondiente con el prefijo big. Para la unión binaria \cup (A ∪ B), por ejemplo, la versión de tamaño variable es \bigcup. Todos son de clase suma, así que apilan sus límites arriba y abajo en display y los colocan al lado en línea.

\[
  \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \qquad
  \bigcap_{i \in I} A_i, \qquad
  V = \bigoplus_{k} V_k
\]

Como esto está en display, \bigcup_{i=1}^{n} apila i=1 directamente bajo el ⋃ grande y n encima. \bigoplus_{k} coloca k bajo un ⊕ ampliado, expresando una suma directa V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ … con un solo símbolo. En línea, todos estos límites van pequeños a la derecha del símbolo.

Subíndices multilínea (\substack y subarray)

A menudo quieres escribir una condición en varias líneas bajo una suma u operador grande (por ejemplo “0 ≤ i ≤ m y 0 < j < n”). Con \substack{…} de amsmath, cada línea separada por \\ se convierte en un subíndice apilado y centrado. Observa que colocas todo \substack{…} en la posición del subíndice.

\[
  \sum_{\substack{0 \le i \le m \\ 0 < j < n}} P(i,j)
\]

En display, esto apila “0 ≤ i ≤ m” y “0 < j < n” en dos líneas directamente bajo Σ, cada una centrada. El \\ dentro de \substack separa líneas y no se pone tras la última.

Para alinear las líneas a la izquierda, usa el entorno más general subarray. El {l} en \begin{subarray}{l} … \end{subarray} especifica alineación izquierda ({c} centraría), y las líneas se rompen con \\ como en \substack. Se lee mejor cuando quieres que las condiciones arranquen alineadas a la izquierda.

\[
  \sum_{\begin{subarray}{l} i \in \Lambda \\ 0 < j < n \end{subarray}} P(i,j)
\]

Definir operadores (\DeclareMathOperator*)

Cuando necesitas un nombre de operador que no está en la lista, compuesto en recto y con su subíndice directamente debajo - piensa en argmax, argmin o esssup -, usa \DeclareMathOperator de amsmath. Decláralo una vez en el preámbulo y luego llámalo como un comando corto en el cuerpo. La clave para colocar el límite directamente debajo (el comportamiento de clase suma de \lim) es la forma con estrella \DeclareMathOperator*. Sin la estrella, el subíndice va abajo a la derecha del nombre.

% プリアンブルで:
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

% 本文で:
\[
  \hat{\theta} = \argmax_{\theta} L(\theta),
  \qquad \rank A \le n
\]

Aquí \argmax se define con estrella, así que en display θ va directamente bajo arg max (abajo a la derecha en línea). El \, en el texto del nombre es un espacio fino entre palabras que separa bien “arg max”. En cambio, \rank no tiene estrella, así que \rank A se compone como rank A, recto y con el espacio adecuado, con cualquier subíndice abajo a la derecha. Para un uso puntual también puedes escribir \operatorname{rank} directamente, sin declararlo (o \operatorname*{…} para poner el límite debajo).

El texto del nombre sigue convenciones especiales: un guion - se compone como guion de texto ordinario (no como signo menos), y un asterisco * como asterisco de texto elevado (no como estrella binaria centrada). Los nombres de función deben componerse con \DeclareMathOperator o \mathrm, no con \text{…}; así el espaciado alrededor se ajusta automáticamente y permanecen rectos incluso en un contexto en cursiva como un entorno de teorema.

Un truco relacionado: para poner scripts en las cuatro esquinas de un símbolo de clase suma - por ejemplo un prime (′) en una sumatoria -, amsmath ofrece \sideset. Escribir \sideset{}{'}\sum_{n} a_n añade un prime en la esquina superior derecha de Σ mientras mantiene un límite debajo. \sideset es solo para símbolos de clase suma; su primer argumento fija las esquinas izquierdas y el segundo las derechas. Dentro de cada argumento escribes por separado la esquina inferior y superior como _{lo}^{hi}, de modo que \sideset{_a^b}{_c^d}\sum coloca un script distinto en cada una de las cuatro esquinas (los límites ordinarios _ y ^ siguen adjuntándose como siempre).