Funciones tipo log y mod

Cuando escribes en una fórmula un nombre de función como \sin o \log, se compone en letra recta (romana) y con el espaciado correcto. No es un adorno. En modo matemático cada letra se trata como una variable, así que escribir sin(x) literalmente se convierte en el producto de tres variables s, i, n. Por eso LaTeX predefine como comandos los nombres de función más comunes. Esta página cubre las familias trigonométrica, logarítmica y exponencial; operadores como \lim y \max, que colocan el subíndice justo debajo; las formas modulares \bmod y \pmod; y cómo definir tu propio operador cuando no aparece en la lista.

Por qué existen los operadores con nombre

Dentro del modo matemático, cada letra se interpreta como el nombre de una variable y se compone en cursiva matemática. Por eso sin x no produce “seno”, sino el producto de cuatro cantidades s, i, n, x, inclinadas y espaciadas como una sucesión de variables. Eso contradice la convención matemática de componer los nombres de funciones y las constantes en letra recta.

La forma correcta es usar un comando dedicado como \sin. LaTeX predefine los nombres de funciones y operadores comunes; cada uno se compone en letra recta y recibe automáticamente el espaciado de operador adecuado. Por ejemplo, \sin x produce el resultado de manual: “sin” recto, seguido de un espacio fino y de la variable x. Todos estos comandos pertenecen al LaTeX estándar y no requieren paquetes adicionales; solo definir operadores propios exige amsmath, como se explica más abajo.

Trigonometría, logaritmos y exponencial

Los más usados pertenecen a las familias trigonométrica, hiperbólica, logarítmica y exponencial. Son operadores ordinarios: cuando llevan índices o exponentes, estos se colocan a la derecha del símbolo, no debajo. Los de tipo “debajo” aparecen en la sección siguiente.

• Trigonométricas: \sin \cos \tan \cot \sec \csc, más las inversas \arcsin \arccos \arctan.
• Hiperbólicas: \sinh \cosh \tanh \coth.
• Logaritmos: \log (logaritmo en general), \ln (logaritmo natural), \lg (logaritmo en base 2).
• Exponencial y otros: \exp (exponencial), \deg (grado), \dim (dimensión), \ker (núcleo), \hom, \arg (argumento).

Las bases y los exponentes se añaden mediante el mecanismo ordinario de subíndices y superíndices. \log_2 x da un logaritmo en base 2 con un pequeño 2 abajo a la derecha de “log”, y \sin^2\theta coloca el exponente 2 arriba a la derecha de “sin”, la forma habitual sin²θ. Elige entre \log, \ln y \lg según el significado: \ln para el logaritmo natural y \lg para el logaritmo en base 2, común en teoría de la información.

\[
  \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad
  \log_2 8 = 3, \qquad
  \ln e = 1.
\]

En esta fórmula en display, “sin”, “cos”, “log” y “ln” aparecen en letra recta; \sin^2\theta coloca el 2 arriba a la derecha de sin, y \log_2 8 lo coloca abajo a la derecha de log. Las tres fórmulas quedan en una línea separadas por el espacio amplio \qquad. En contraste, omitir la \ como en sin^2\theta compondría s, i, n como variables inclinadas y con un espaciado incorrecto.

Operadores que colocan límites debajo

Aparte de las funciones anteriores, hay un grupo de operadores que colocan el subíndice directamente debajo del símbolo. Límites, supremos e ínfimos, máximos y mínimos pertenecen a este grupo, porque la convención es mostrar de forma destacada debajo del símbolo “sobre qué rango o condición” se aplica.

• \lim (límite), \limsup (límite superior), \liminf (límite inferior).
• \sup (supremo), \inf (ínfimo), \max (máximo), \min (mínimo).
• \det (determinante), \gcd (máximo común divisor), \Pr (probabilidad).
• Añadidos por amsmath: \injlim y \projlim (límites directo e inverso, compuestos como “inj lim” / “proj lim”), las variantes con flecha \varinjlim y \varprojlim, y \varlimsup / \varliminf, comunes en teoría de categorías y en límites de funtores.

Estos operadores colocan el subíndice directamente debajo en estilo display y abajo a la derecha en estilo de texto (en línea). El comportamiento es idéntico al de operadores grandes como \sum e \int y lo gobierna el estilo. Para forzar la posición inferior en línea, usa \displaystyle; véase “Sumas, integrales y operadores grandes”. Por ejemplo, \lim_{x \to 0} coloca x→0 justo debajo de “lim” en display, y pequeño abajo a la derecha dentro del texto.

\[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad
  \max_{1 \le i \le n} a_i .
\]

En esta fórmula en display, x→0 queda directamente bajo “lim” y 1≤i≤n bajo “max”, con el cuerpo de cada expresión a la derecha; \sin x también se compone correctamente en letra recta. Escrito en línea como $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$, el rango aparece pequeño abajo a la derecha de “lim”.

Aritmética modular (mod)

El “mod” de la aritmética modular adopta varias formas según el contexto, cada una con distinto espaciado y distintas paréntesis. El LaTeX estándar ofrece \bmod y \pmod; amsmath añade \mod y \pod.

\bmod es mod como operador binario; la b viene de binary. Al escribir 5 \bmod 3, LaTeX coloca espaciado de operador binario alrededor de “mod” entre 5 y 3, componiéndolo como “5 mod 3”. Úsalo cuando te refieres al valor, el resto, en sí. En cambio, \pmod{n} es el módulo entre paréntesis que se añade a una congruencia. a \equiv b \pmod{n} coloca “(mod n)” algo separado a la derecha de la fórmula, dando “a ≡ b (mod n)”; el argumento n se pasa entre llaves. Con amsmath cargado, el espacio antes de \pmod se ajusta automáticamente en fórmulas en línea.

\[
  5 \bmod 3 = 2, \qquad
  17 \equiv 5 \pmod{12}.
\]

En esta fórmula en display, la expresión de la izquierda se compone con espaciado de operador binario como “5 mod 3 = 2”, y la de la derecha como “17 ≡ 5 (mod 12)”, con el signo de congruencia \equiv y un “(mod 12)” entre paréntesis añadido al final.

Las dos formas que añade amsmath son variantes de \pmod. \mod{n} compone solo “mod n” sin paréntesis (una forma que algunos autores prefieren, con espacio antes), mientras que \pod{n} elimina “mod” pero conserva los paréntesis, produciendo “(n)”. La tabla ordena las cuatro.

Definir tu propio operador

A veces querrás componer correctamente en letra recta un nombre de función que no está en la lista: la función signo sgn, la traza tr, el rango rank, la imagen Im. Para un caso puntual, usa \operatorname{…} de amsmath. \operatorname{sgn} x compone “sgn” en letra recta y con el espaciado adecuado, con la misma calidad que \sin y similares.

Si usas el mismo operador repetidamente, decláralo una vez en el preámbulo con \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}. Después escribes solo \sgn en el cuerpo y la definición queda en un único lugar. Para un operador cuyo subíndice debe ir directamente debajo, como \lim, usa la forma con estrella \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}; para un caso puntual, \operatorname*{…} hace lo mismo. Sin estrella, los índices van a la derecha; con estrella, van debajo en display. Todo esto procede de amsmath, internamente del paquete amsopn cargado automáticamente, así que necesitas \usepackage{amsmath}.

\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
% 本文中 / in the body:
% \[ \sgn x, \qquad \argmax_{x \in S} f(x) \]

Tras estas declaraciones, en display \sgn x da “sgn” en letra recta y la variable x, mientras que \argmax_{x \in S} compone “arg max” con un espacio fino \, entre las palabras y coloca x∈S directamente debajo. El \, en el nombre conserva la separación adecuada entre “arg” y “max”. Declarado una vez, un cambio posterior de notación se reduce a editar una línea del preámbulo y se propaga por todo el documento.