Flechas

El signo igual data de 1557 y los signos más y menos se remontan al siglo XV. La flecha —hoy el símbolo más visible de las matemáticas— no se generalizó hasta el siglo XX. Y apenas llegó, pasó a ser la protagonista: en teoría de categorías importan más las flechas entre los objetos que los objetos mismos. Esta página recorre la cuarentena de flechas que LaTeX puede componer en torno a una sola idea: la forma de una flecha dice lo que significa. Casi siempre, el dibujo elige por usted.

Las flechas viven en modo matemático

Para TeX una flecha no es un dibujo sino una relación, y las relaciones llevan un espacio fijo a cada lado. Por eso escribir \to en el texto corriente es un error y no solo algo feo: fuera del modo matemático esa regla de espaciado sencillamente no existe. Hay que entrar antes en modo matemático, como en $f\colon A \to B$. La nomenclatura es del todo mecánica: una dirección (left, right, up, down) combinada con una forma. Poner la inicial en mayúscula da la variante de doble trazo (\Rightarrow ⇒) y el prefijo long da la larga (\longrightarrow ⟶). Los nombres se construyen en lugar de memorizarse.

% a map, and a chain of implications
\[
  P \implies Q, \qquad x \to 0, \qquad a_n \to L \;(n \to \infty)
\]

Hay dos alias cuyo origen conviene conocer, porque después ya no se olvidan. \to es alias de \rightarrow y \gets de \leftarrow, pero el nombre \gets viene de la informática, no de las matemáticas. x \gets 1 se lee «x gets 1», es decir, una asignación. Knuth, autor de TeX, escribió también The Art of Computer Programming y trasladó el vocabulario de los algoritmos directamente a su sistema de composición. El segundo es \iff (⟺). La abreviatura «iff» de «if and only if» la popularizó el matemático Paul Halmos, a quien debemos además el cuadrado hueco ∎ que cierra una demostración, todavía llamado símbolo de Halmos. En la práctica: el corto \to y \gets para aplicaciones y límites, y \iff para enunciados de equivalencia.

Flechas horizontales: para qué sirve el segundo trazo

Las flechas horizontales forman una familia de trazo simple (\leftarrow, \rightarrow, \leftrightarrow) y otra de doble trazo (\Leftarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow), cada una con su variante long. La distinción no es ornamental. Por una convención que los lectores comparten, el trazo simple → lleva las aplicaciones entre conjuntos u objetos, mientras que el doble trazo ⇒ lleva la implicación entre proposiciones. Así, cuando «f: A → B» y «P ⇒ Q» aparecen en la misma página, solo el número de trazos indica que se habla de niveles distintos. Las formas largas tienen longitud fija; no son las flechas extensibles del final de esta página.

En textos de lógica con mucha prosa, amsmath añade \implies (⟹) e \impliedby (⟸), que completan el juego. Son \Longrightarrow y \Longleftarrow con espacio adicional a ambos lados, el mismo que usa \iff. Escribir una cadena «P \implies Q \iff R» deja respirar a los símbolos, y ese espacio actúa como puntuación: incluso una fórmula larga muestra dónde detenerse. En cambio, una hilera de \Rightarrow apretados tiende a apelmazarse.

Cuando la forma es la definición: aplicaciones y ganchos

A partir de aquí las flechas se vuelven vocabulario. \mapsto (↦) lleva una barra vertical en su base y significa no «del conjunto A al conjunto B» sino «este elemento va a aquel». Escribir x \mapsto x^2 junto a f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} separa en una sola línea la aplicación misma de la correspondencia entre elementos. Esta notación se difundió a través de las obras del colectivo Bourbaki. El gancho de \hookrightarrow (↪) evoca el enganche y marca por convención una inclusión: un subconjunto sumergido sin cambios en otro mayor. Ambas pertenecen al LaTeX estándar y no requieren paquete.

\[
  f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2,
  \qquad \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}
\]

Cuando se quiere declarar sin rodeos la inyectividad o la sobreyectividad, las formas se vuelven de lo más elocuentes. En amssymb, \rightarrowtail (↣) desarrolla una cola en su base y \twoheadrightarrow (↠) duplica su punta. La cola se lee como «cada uno a su propio destino» —inyectiva— y la punta doble como «cubriendo todo el otro lado» —sobreyectiva—; una flecha con ambas, ⤖, denota una biyección. Es decir: descomponga una flecha en sus tres partes (base, asta y punta) y podrá leer su significado directamente. La convención depende del contexto, así que en un artículo lo más seguro es definir el símbolo una vez en su primera aparición. No utilice \mapsto para inclusiones ni confunda \hookrightarrow con \rightarrowtail.

Verticales y diagonales: el andamiaje de los diagramas

Las flechas verticales y diagonales despliegan su utilidad en los diagramas conmutativos. Estos diagramas entraron en uso serio en 1945, en el artículo con el que Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane fundaron la teoría de categorías, y establecieron una escritura matemática en la que los objetos son vértices y las aplicaciones, aristas. La familia vertical la forman \uparrow, \downarrow, \updownarrow y las de doble trazo \Uparrow, \Downarrow, \Updownarrow. Las cuatro diagonales son \nearrow (↗), \searrow (↘), \swarrow (↙) y \nwarrow (↖); los nombres son sencillamente los puntos cardinales noreste, sureste, suroeste y noroeste. En análisis, ↗ y ↘ marcan además convergencia creciente y decreciente. Conviene recordar que \uparrow y sus parientes sirven también como delimitadores para \left … \right.

Arpones y amssymb: qué dice una flecha con un solo barbo

Un arpón es una flecha con barbo en un solo lado. Combinando un barbo superior y otro inferior, \rightleftharpoons (⇌) es el símbolo habitual de reacción reversible o equilibrio en química. El medio barbo es en sí mismo el significado: las dos flechas presentan la reacción directa y la inversa como procesos distintos, algo diferente del ⇄ con barbos completos. Si va a componer química en serio, el paquete mhchem permite escribir \ce{A <=> B} y se ocupa además de coeficientes y símbolos de estado. Los arpones aparecen también en física, por ejemplo en notaciones sobre el momento angular.

En cambio, las flechas decorativas —puntas dobles, colas, trazos discontinuos— no forman parte del LaTeX estándar y exigen \usepackage{amssymb}. El paquete pertenece a un conjunto de fuentes y macros elaborado por la American Mathematical Society para suministrar los símbolos que los matemáticos en activo echaban en falta en las fuentes matemáticas que Knuth diseñó originalmente. Dicho de otro modo: cada flecha de la tabla siguiente existe porque alguien la necesitó en un artículo.

Flechas que se estiran para llevar una etiqueta

Todas las flechas vistas hasta aquí tenían longitud fija. amsmath proporciona \xrightarrow{…} y \xleftarrow{…}, cuya asta se estira por sí misma para ajustarse a la etiqueta colocada encima. Se usan cuando una aplicación merece un nombre —A \xrightarrow{\ f\ } B— o cuando hay que escribir una condición sobre la arista de una sucesión exacta o de un diagrama conmutativo. El procedimiento antiguo de apilar texto sobre un \longrightarrow de longitud fija con \stackrel sigue funcionando, pero el texto sobresale en cuanto es más ancho; hoy las formas extensibles son la elección natural.

\usepackage{amsmath}   % \xrightarrow, \xleftarrow
% \usepackage{mathtools} % also \xLeftarrow, \xhookrightarrow, \xmapsto
\[
  A \xrightarrow{\;f\;} B \xrightarrow{\;g\;} C,
  \qquad x \xrightarrow[n\to\infty]{} L
\]

Añadir el argumento opcional entre corchetes permite escribir también debajo de la flecha. \xrightarrow[n \to \infty]{\ a_n\ } coloca el nombre de la aplicación arriba y la condición abajo, de modo que un enunciado sobre un límite o una convergencia cabe en una sola flecha. En cuanto haya que construir un diagrama completo, un paquete especializado como tikz-cd acaba resultando más rápido; el reparto práctico es: \xrightarrow para una flecha suelta en el texto y tikz-cd para el diagrama en sí.

En resumen, la decisión tiene unos tres pasos. Para aplicaciones y relaciones basta el LaTeX estándar (\to, \mapsto, \hookrightarrow, \Rightarrow). Cuando la forma misma debe cargar significado —inyectiva, sobreyectiva, equilibrio— se recurre a amssymb. Cuando la flecha debe llevar una etiqueta y estirarse, se usa la familia \xrightarrow de amsmath. Y en cuanto haya que dibujar el diagrama mismo, se pasa a tikz-cd. Elegir una flecha es también decirle al lector, sin decirlo, en qué nivel del razonamiento se encuentra.