Bases du mode mathématique

LaTeX possède un état spécial, distinct du texte ordinaire, appelé mode mathématique. Les mathématiques y sont composées avec leurs propres polices, espacements et règles typographiques ; même un simple x est donc traité autrement que le x d’une phrase. Cette page présente les deux portes d’entrée du mode mathématique : les formules en ligne, insérées dans le fil du texte, et les formules affichées, placées sur leur propre ligne. Elle décrit aussi les règles qui s’y appliquent : les espaces sont ignorés, les lettres deviennent des variables, et les noms de fonctions doivent utiliser des commandes dédiées.

Ce qu’est le mode mathématique

Quand LaTeX compose un document, il passe entre plusieurs modes (états internes). L’état dans lequel on lit et écrit le texte ordinaire est le mode texte ; celui qui sert à composer les mathématiques est le mode mathématique. Ils ne diffèrent pas seulement par l’aspect, mais par les règles typographiques elles-mêmes. En mode mathématique, les lettres sont composées en italique mathématique (math italic), les espacements sont calculés à partir de la structure de la formule plutôt que d’une suite de lettres, et les symboles comme + et = reçoivent automatiquement les bons espaces autour d’eux comme opérateurs ou relations.

Pourquoi faut-il un mode séparé ? Parce que la composition mathématique porte une foule de conventions absentes du texte ordinaire. Les variables sont en italique, les constantes et les noms de fonctions sont droits, les indices sont petits, les fractions et les racines dépassent la hauteur des lettres, et même les espaces entre symboles obéissent à des règles fines. Les préciser une par une à la main serait irréaliste. On déclare donc simplement « les mathématiques commencent ici », puis LaTeX prend en charge l’ensemble selon l’usage mathématique : c’est l’idée du mode mathématique. Si vous écrivez $x$ dans le corps du texte, ce seul x sera correctement composé comme variable mathématique, même si tout ce qui l’entoure est en japonais.

Le mode mathématique prend deux grandes formes : les formules en ligne, insérées dans le fil d’une phrase, et les formules affichées, séparées du paragraphe sur leur propre ligne avec davantage d’espace. Une même formule change de taille et de disposition selon le choix effectué. Prenons-les dans l’ordre.

Formules en ligne

Une formule en ligne insère la formule dans le texte courant. La forme recommandée par LaTeX consiste à l’entourer de \( et \) ; le raccourci TeX $ … $ est lui aussi très répandu. Les deux formes sont équivalentes : c’est une question de préférence. (Il existe aussi la forme d’environnement \begin{math} … \end{math}, qui fait la même chose, mais elle est trop longue pour un usage en ligne.)

アインシュタインの関係式は \( E = mc^2 \) である。

The mass--energy relation is $E = mc^2$.

Dans les deux cas, la formule reste dans la ligne à une taille retenue afin de ne pas trop perturber la hauteur de ligne. E, m et c sont inclinés comme des variables, et le 2 est composé petit comme exposant. Attention : $ utilise le même caractère pour ouvrir et fermer ; oublier le $ fermant fait basculer tout le texte qui suit en mode mathématique et produit souvent une erreur déconcertante. La paire \( … \) distingue l’ouverture de la fermeture, ce qui rend les mauvais appariements beaucoup plus faciles à repérer.

Comme les formules en ligne sont contraintes par la hauteur de ligne, les fractions et les sommes sont composées de façon compacte. Les détails sont traités plus bas, dans « Style en ligne ou style affiché ».

Formules affichées

Les formules importantes ou volumineuses sont sorties du paragraphe et placées sur une ligne à part : ce sont les formules affichées. La forme recommandée par LaTeX est \[ … \], une abréviation qui se comporte exactement comme l’environnement displaymath (\begin{displaymath} … \end{displaymath}). Aucune de ces formes n’ajoute de numéro d’équation. Par défaut la formule est centrée ; l’option globale fleqn la met à gauche.

次の等式が成り立つ。
\[
  \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}
\]
これは基本的な積分である。

Le résultat est une formule centrée sur sa propre ligne : le signe intégral dépasse la hauteur des lettres, l’intervalle de 0 à 1 est placé sous et au-dessus du signe intégral, et la fraction 1/3 est composée en hauteur autour d’une barre horizontale. Un peu d’espace vertical la sépare du texte environnant.

Quand vous voulez numéroter une formule pour y renvoyer plus tard, utilisez l’environnement equation plutôt que \[ … \]. Il place la formule sur une ligne à part et ajoute automatiquement un numéro courant à droite (par défaut en écriture horizontale). Avec \label{…} et \ref{…}, vous pouvez la citer dans le texte, par exemple « d’après l’équation (3) » ; la numérotation et l’alignement sont détaillés dans une autre page.

\begin{equation}
  e^{i\pi} + 1 = 0
\end{equation}

Pour une formule affichée sans numéro, vous pouvez utiliser \[ … \] ou l’environnement equation* du package amsmath (équivalent à displaymath, mais pouvant bénéficier des fonctions d’amsmath). Le tableau suivant résume les principales façons de composer une formule affichée.

Pourquoi éviter $$ … $$

On voit parfois des formules affichées entourées de $$ … $$, mais c’est une habitude héritée de plain TeX et elle est déconseillée en LaTeX. Même si le résultat ressemble à \[ … \], cette notation n’est pas officiellement prise en charge par LaTeX et elle cause de vrais problèmes.

• On perd le bon espace au-dessus et au-dessous que \[ … \] insère, ce qui modifie l’espacement vertical autour de la formule.
• L’option globale fleqn n’a aucun effet.
• Les contrôles de cohérence de LaTeX (appariement ouverture/fermeture, etc.) ne sont pas exécutés.
• \[ … \] sont des macros que l’on peut redéfinir pour modifier leur comportement au besoin ; $$ n’offre pas cette souplesse.
• Le placement du symbole QED dans l’environnement proof d’amsthm se casse : si la dernière formule est composée avec $$ … $$, la marque de fin de preuve descend sur sa propre ligne au lieu de rester au bord droit comme prévu.

Le « Short Math Guide for LaTeX » de l’AMS met lui aussi fortement en garde contre $$ … $$. Pour les formules affichées, utilisez \[ … \] (sans numéro) ou l’environnement equation (avec numéro).

Style en ligne ou style affiché

Une même formule est composée dans un style différent selon qu’elle est en ligne ou affichée. Les formules en ligne sont composées de façon compacte en style texte pour ne pas perturber la hauteur de ligne ; les formules affichées disposent de plus de place en style affiché. La différence se voit surtout dans le placement des limites sur les sommes et intégrales, ainsi que dans la taille des fractions et des exposants/indices.

• Limites des sommes/intégrales : en style affiché, les bornes de \sum se placent au-dessus et au-dessous du symbole, tandis qu’en style texte (en ligne) elles se placent à sa droite. Les bornes de \int changent de position de la même façon.
• Fractions : \frac est grande en style affiché, petite et compacte en style texte.
• Exposants/indices : les exposants et indices changent aussi de taille et de position selon le style, et rétrécissent par étapes lorsqu’ils sont imbriqués.

On peut remplacer ce style par des commandes. \displaystyle applique, à partir de là, « le style utilisé pour une formule sur sa propre ligne », tandis que \textstyle applique « le style utilisé dans un paragraphe ». Il existe aussi \scriptstyle pour les exposants/indices et \scriptscriptstyle pour le niveau suivant ; les caractères diminuent dans cet ordre. Par exemple, pour placer les limites d’une somme au-dessus et au-dessous dans le texte courant, utilisez \displaystyle à l’intérieur de la formule en ligne.

インライン: $\sum_{i=1}^{n} i$ では範囲が右脇に付く。

強制ディスプレイ: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i$ では範囲が上下に付く。

Dans l’exemple ci-dessus, le premier cas place i=1 et n en petit à droite du signe somme, tandis que le second place les mêmes limites directement dessous et dessus. Attention toutefois : l’usage fréquent de \displaystyle dans le texte courant tend à élargir l’interligne ; réservez-le aux endroits nécessaires.

Les règles en mode mathématique

En mode mathématique, trois règles différentes du texte ordinaire prennent le relais. Si vous ne les connaissez pas, vous serez surpris de voir « l’espace tapé disparaître » ou « un mot anglais sortir incliné et espacé ».

Premièrement, les espaces saisis dans la source sont ignorés. Tous les espacements d’une formule sont décidés par LaTeX à partir de sa structure ; a+b et a + b produisent donc le même résultat. Si vous voulez insérer volontairement un espace, utilisez des commandes dédiées comme \, (espace fine) ou \quad et \qquad (espaces plus larges). Les retours à la ligne sont eux aussi ignorés, vous pouvez donc couper la source pour la rendre lisible.

Deuxièmement, chaque lettre est interprétée comme le nom d’une variable et composée en italique mathématique. Ainsi, écrire area dans une formule ne donne pas le mot « area », mais le produit de quatre variables a, r, e, a, espacées comme une suite de variables.

Troisièmement, pour placer des mots ordinaires (droits, correctement espacés) dans une formule, utilisez une commande dédiée. La référence est \text{…} du package amsmath, qui compose la chaîne incluse avec la même police et le même espacement que le texte courant. Sans amsmath, \mbox{…} peut faire quelque chose de comparable, mais il a des limites : sa taille ne suit pas dans les indices, et son nom n’exprime pas l’usage.

\[
  V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad \text{（半径 $r$ の球）}
\]

Ici, un espace \quad suit la formule du volume d’une sphère, et l’expression placée dans \text{…} est composée droite, avec la police du texte courant. Remarquez aussi qu’écrire $r$ à l’intérieur de \text{…} fait repasser cette partie seulement en mode mathématique.

Opérateurs et noms de fonctions

La règle précédente montre que taper littéralement sin x ressemble au produit de trois variables s, i, n. La bonne méthode consiste à utiliser une commande dédiée comme \sin. LaTeX prédéfinit les noms des fonctions et opérateurs courants ; chacun est composé droit (romain) avec le bon espacement autour.

• Trigonométriques et hyperboliques : \sin \cos \tan \cot \sec \csc ; \sinh \cosh \tanh \coth ; inverses \arcsin \arccos \arctan.
• Logarithmes et exponentielle : \log \ln \lg \exp.
• Limites et bornes : \lim \limsup \liminf \sup \inf \max \min.
• Algèbre et autres : \arg \det \dim \gcd \ker \hom \deg \Pr ; modulo \bmod \pmod.

Certains d’entre eux (\lim, \max, \sup, etc.) placent l’indice directement en dessous en style affiché. Par exemple, \lim_{n\to\infty} compose n→∞ juste sous lim dans une formule affichée (et en bas à droite en ligne).

\[
  \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e,
  \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
\]

Pour composer droit un nom de fonction absent de la liste, utilisez \operatorname{…} d’amsmath. Par exemple, \operatorname{rank} A compose rank droit avec l’espacement approprié. Si vous utilisez plusieurs fois le même opérateur, définissez-le une fois dans le préambule avec \DeclareMathOperator{\rank}{rank}, puis écrivez \rank dans le corps du document. Pour un opérateur dont l’indice doit se placer directement dessous, comme \lim, utilisez la forme étoilée \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}.