Fractions, racines et exposants

Les fractions, racines et coefficients binomiaux sont les exemples typiques de composition mathématique qui s’étend verticalement au-delà de la hauteur des lettres. La commande de base \frac change automatiquement de taille selon sa position (dans le texte courant ou sur une ligne affichée). Mais elle ne donne pas toujours l’aspect souhaité ; c’est là qu’interviennent \dfrac, \tfrac et \cfrac d’amsmath, la famille \binom, ainsi que les fractions obliques \nicefrac / \sfrac. Cette page explique, l’un après l’autre, ce que chacun produit, quel package il nécessite et quand le choisir.

La fraction de base, \frac

La commande de base pour une fraction est \frac{numérateur}{dénominateur}. Elle appartient à LaTeX de base : elle fonctionne sans charger amsmath. Le premier argument est le numérateur, le second le dénominateur ; LaTeX trace une barre horizontale (le vinculum) entre les deux, avec le numérateur au-dessus et le dénominateur au-dessous. Par exemple, \frac{1}{2} donne un demi : 1 au-dessus, 2 au-dessous, séparés par la barre.

Une propriété importante de \frac est que sa taille change automatiquement selon le contexte environnant (le style). Dans une formule en ligne insérée dans le texte (style texte), le numérateur et le dénominateur sont composés petits et compacts pour ne pas trop perturber la hauteur de ligne. Placez la même expression sur une ligne affichée (style affiché) avec \[ … \], et elle est composée plus grande, avec de l’espace. L’exemple ci-dessous montre comment le même \frac{a+b}{c} diffère en ligne et en affichage.

本文中では小さく組まれる: $\frac{a+b}{c}$ のように。

\[
  \frac{a+b}{c}
\]

Le premier résultat est une fraction contenue qui tient dans la ligne ; le second est une grande fraction centrée sur sa propre ligne. Les fractions peuvent aussi être imbriquées : écrivez un autre \frac dans le numérateur ou le dénominateur pour créer une fraction à plusieurs niveaux. Notez toutefois qu’une fraction imbriquée est composée dans un style encore plus petit que celui qui l’entoure ; plus l’imbrication est profonde, plus la lecture devient difficile.

\[
  \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}
\]

Ici, une fraction à deux niveaux est composée, avec une autre fraction \frac{1}{x} dans le dénominateur. Remarquez que le \frac{1}{x} intérieur est composé un cran plus petit que celui de l’extérieur. Si vous voulez garder toutes les couches à la même taille dans une imbrication profonde, utilisez \dfrac (section suivante) ou la commande dédiée aux fractions continues, \cfrac.

Forcer la taille : \dfrac et \tfrac

Le dimensionnement automatique de \frac est parfois gênant. Vous pouvez vouloir qu’une fraction dans le texte courant apparaisse en pleine taille affichée plutôt que comprimée ; ou, inversement, garder compacte une seule fraction dans une formule affichée. Les commandes qui répondent à ce besoin de « fixer le style » sont \dfrac et \tfrac, fournies par le package amsmath (elles nécessitent toutes deux \usepackage{amsmath}).

Selon le guide utilisateur d’amsmath, \dfrac est une abréviation pratique de {\displaystyle\frac ... }, et \tfrac de {\textstyle\frac ... }. Ainsi \dfrac{…}{…} est toujours composé en taille affichée (grande fraction), où qu’il se trouve, tandis que \tfrac{…}{…} est toujours composé en taille texte (petite fraction). Les arguments sont exactement ceux de \frac : d’abord le numérateur, puis le dénominateur.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
本文中でもフルサイズの分数: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$。

\[
  \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
\]

Le \dfrac{\partial f}{\partial x} en ligne est composé comme une fraction de dérivée partielle en pleine taille affichée, même dans la ligne de texte (ce qui augmente la hauteur de ligne). Dans l’exemple affiché, l’imbrication de \dfrac garde les fractions extérieure et intérieure à la même taille, ce qui est plus lisible que l’imbrication de \frac (où l’intérieur rétrécit). Repère pratique pour choisir :

• \frac : le choix ordinaire, quand on veut une taille naturelle laissée au contexte.
• \dfrac : quand une fraction dans le texte doit rester en pleine taille plutôt que comprimée, ou quand chaque niveau d’une imbrication doit garder la même taille.
• \tfrac : quand une seule fraction dans une formule affichée doit rester petite et compacte, par exemple presque comme un exposant ou un indice.

Fractions continues, \cfrac

Si vous construisez une fraction continue — où le dénominateur contient encore une fraction, et ainsi de suite — en imbriquant \frac, les caractères rétrécissent à chaque niveau jusqu’à devenir illisibles. La commande \cfrac{numérateur}{dénominateur} du package amsmath est conçue pour cet usage. Elle empile tous les niveaux uniformément en taille affichée, de sorte que la taille ne change pas avec la profondeur. Utilisez-la toujours pour les fractions continues.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}
\]

Cela compose la fraction continue 1 + (une fraction …), chaque niveau \cfrac étant empilé verticalement à la même taille. Le \cdots final est une ellipse centrée à trois points (…) indiquant « et ainsi de suite ». Le contraste est net avec une écriture équivalente en \frac, où chaque niveau intérieur deviendrait plus petit.

La commande \cfrac accepte un argument optionnel d’alignement. Selon le guide utilisateur d’amsmath, le placement à gauche ou à droite d’un numérateur se précise avec \cfrac[l] ou \cfrac[r] au lieu de \cfrac. [l] aligne le numérateur à gauche, [r] à droite ; sans argument, il est centré (par défaut). Comme la largeur du dénominateur varie d’un niveau à l’autre dans une fraction continue, cet argument est utile pour aligner horizontalement les numérateurs.

\[
  \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2}}}
\]

Dans cet exemple, chaque numérateur 1 est aligné sur l’extrémité gauche de sa barre de fraction (par défaut il serait centré).

Coefficients binomiaux, \binom

Un coefficient binomial (le nombre de combinaisons), « choisir k parmi n », s’écrit comme un empilement vertical sans barre, entouré de parenthèses. La commande \binom{n}{k} du package amsmath le produit : n au-dessus et k au-dessous, empilés sans barre, le tout entouré de parenthèses ( ) de taille adaptée. Contrairement à \frac, aucune barre de fraction n’est tracée.

De même que \frac possède \dfrac / \tfrac, \binom a des variantes qui fixent la taille : \dbinom{n}{k} est toujours en taille affichée, et \tbinom{n}{k} toujours en taille texte. Les deux nécessitent amsmath.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]

C’est une équation avec, à gauche, un coefficient binomial (n au-dessus de k) entouré de grandes parenthèses, et à droite une fraction de factorielles (n! divisé par k!(n−k)!). Le \, à droite est la commande d’espace fine qui insère un petit blanc entre les factorielles.

Dans des sources anciennes ou dans le style plain TeX, on écrit parfois un coefficient binomial sous la forme {n \choose k}. Cela utilise la primitive TeX des fractions généralisées, mais aujourd’hui le standard est \binom d’amsmath. Les commandes apparentées \over, \atop et \above (fractions généralisées avec barre / sans barre / avec épaisseur de règle spécifiée) émettent aussi des avertissements une fois amsmath chargé, et le guide recommande d’utiliser plutôt \frac ou \genfrac. \genfrac{délimiteur-gauche}{délimiteur-droit}{épaisseur}{style}{numérateur}{dénominateur} est la commande générale d’amsmath pour contrôler d’un coup l’apparence de ces fractions et coefficients binomiaux ; \frac, \binom et \cfrac reposent tous sur ce mécanisme. Le quatrième argument (style) est un entier 0–3 sélectionnant respectivement \displaystyle, \textstyle, \scriptstyle et \scriptscriptstyle (laissez-le vide pour suivre le contexte). Par exemple, \binom est défini en interne comme \genfrac{(}{)}{0pt}{}{…}{…}, ce qui lui donne son aspect sans barre en fixant le troisième argument — l’épaisseur de la règle — à 0pt.

Racines : \sqrt et racines n-ièmes

Une racine carrée se compose avec \sqrt{contenu}. C’est une fonction de LaTeX de base ; amsmath n’est pas nécessaire. Elle produit un signe radical (√) avec une barre horizontale (vinculum) partant du haut à droite pour couvrir tout le contenu. Le radical et la barre s’adaptent automatiquement à la hauteur et à la largeur du contenu, si bien que \sqrt{x} et \sqrt{x^2 + y^2} sont composés à la taille appropriée.

Une racine n-ième (racine cubique, etc.) s’écrit \sqrt[n]{contenu}, l’indice étant donné comme argument optionnel entre crochets. Un petit indice n est placé en haut à gauche du radical. Par exemple, une racine cubique s’écrit \sqrt[3]{x+y} : un petit 3 en haut à gauche du radical, avec x+y sous la barre.

\[
  \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sqrt[3]{x+y}, \qquad \sqrt[n]{a}.
\]

Le résultat contient une racine carrée avec x²+y² sous le radical, une racine cubique avec 3 en haut à gauche et une racine n-ième avec n en haut à gauche, séparées par \qquad (un grand espace). Si vous devez ajuster la position ou la taille de l’indice de racine, amsmath fournit aussi des commandes de réglage sous la forme \sqrt[\leftroot{…}\uproot{…}n]{…}, mais la position par défaut suffit pour les usages ordinaires.

Composer les exposants (puissances)

Les exposants (puissances) se composent en exposant avec l’accent circonflexe ^. x^2 signifie « x au carré », avec un petit 2 en haut à droite de x. C’est une fonction de LaTeX de base ; aucun package n’est nécessaire. Si l’exposant contient plus d’un caractère, regroupez-le toujours entre accolades : x^{10} donne bien « x à la puissance dix », tandis que x^10 est composé, involontairement, comme « x à la puissance un » suivi d’un 0 séparé.

Les exposants, fractions et racines se combinent souvent ; avec les commandes vues jusqu’ici, une formule unique ressemble à ceci. Rendre la portée explicite avec des accolades est la clé d’une composition correcte.

\[
  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

C’est la formule quadratique. Elle est composée comme une grande fraction centrée sur sa propre ligne, avec « −b ± √(b²−4ac) » au numérateur et « 2a » au dénominateur. Le b^2 sous le radical est un carré en exposant, et \pm est le signe « ± » (plus ou moins). Pour les détails sur la combinaison d’un exposant et d’un indice sur la même lettre (par exemple x^2_i) et les ajustements fins d’espacement, consultez la page séparée « Exposants, indices et espacement ».

Fractions obliques : \nicefrac et \sfrac

Dans le texte courant, on veut parfois composer « un demi » non pas comme un empilement vertical, mais petit et oblique, comme a/b (par exemple dans une unité « 1/2 »). Pour cela, on peut utiliser \nicefrac{a}{b} du package nicefrac. Il décale le numérateur et le dénominateur en diagonale autour d’une barre oblique, de façon à tenir dans la ligne sans perturber sa hauteur. Cette commande n’est pas disponible par défaut : il faut \usepackage{nicefrac} dans le préambule.

Une alternative plus récente et recommandée est \sfrac{a}{b} du package xfrac. La description CTAN de nicefrac indique elle-même que les fonctionnalités de nicefrac sont fournies de façon plus soignée par le package xfrac. \sfrac fonctionne en mode texte comme en mode mathématique et ajuste plus finement son apparence à la police. Pour les nouveaux documents, \usepackage{xfrac} avec \sfrac est le choix le plus sûr.

% nicefrac の場合: \usepackage{nicefrac}
所要時間は約 \nicefrac{3}{4} 時間です。

% xfrac の場合（推奨）: \usepackage{xfrac}
およそ $\sfrac{1}{2}$ に相当します。

Dans les deux cas, 3/4 et 1/2 sont composés comme de petites fractions obliques tenant dans la hauteur de ligne du texte. Répartition utile : \frac ou \dfrac pour les fractions que l’on veut hautes, et \sfrac (ou \nicefrac) pour celles que l’on veut petites et obliques dans la ligne.