Símbolos de conjuntos y lógica

Los símbolos de teoría de conjuntos y lógica - cuantificadores como ∀ y ∃, conectores ∧, ∨, ¬, símbolos de conjuntos como ∈, ⊂, ∪, y marcas de prueba ⊢, ⊨, ∴, ∵ - se escriben todos dentro del modo matemático con comandos como \forall, \in y \cup. Conviene fijar tres ideas: la mayoría están disponibles en LaTeX estándar; \land/\lor son alias de \wedge/\vee; y algunos, incluidos \nexists, \complement y \therefore, necesitan el paquete amssymb. Esta página ordena cómo introducirlos, reúne cuantificadores y lógica, conjuntos, prueba (turnstiles) y marcas de razonamiento en tablas, y aclara elecciones confusas como \varnothing frente a \emptyset.

Introducir símbolos y paquetes

Estos símbolos se usan dentro del modo matemático. Escribir \forall directamente en el cuerpo (modo texto) da error, así que primero entra en modo matemático, como en $\forall x$. Los nombres de los comandos reflejan su significado en inglés: \forall, \exists, \in (element of), \subset (subset), \cup (union), etc.

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

Aquí \forall, \exists, \in, \cup, \subseteq y \Rightarrow son de LaTeX estándar y no necesitan paquetes extra. En cambio, \implies e \iff vienen de amsmath, mientras que \nexists, \varnothing, \complement, \therefore y \because (más abajo) requieren amssymb. En la práctica, cargar amsmath y amssymb en el preámbulo hace disponibles todos los símbolos de esta página.

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

En las tablas siguientes, todo lo que necesita amssymb está marcado como “(ams)”; trata los comandos sin marca como LaTeX estándar. Los símbolos también tienen una clase: \in y \subset son relaciones (algo más de espacio a cada lado), \cup, \cap, \land, \lor son operadores binarios (espaciado simétrico), y \forall, \neg, \top se componen como símbolos ordinarios. Esa clase gobierna el espaciado que LaTeX inserta automáticamente.

Cuantificadores y conectores lógicos

Primero, la base de la lógica de predicados: el cuantificador universal ∀ (\forall) y el existencial ∃ (\exists), con su negación “no existe” ∄ (\nexists, ams). Los conectores básicos son cinco: negación ¬, conjunción ∧, disyunción ∨, implicación ⇒ y equivalencia ⇔. Implicación y equivalencia tienen dos formas: \Rightarrow/\Leftrightarrow son flechas dobles cortas, mientras que \implies/\iff (amsmath) son flechas más largas con más espacio a cada lado, más legibles cuando escribes una cadena de razonamiento casi como prosa.

Algunas cautelas. \neg y \lnot son exactamente lo mismo, y \land/\lor son solo alias de \wedge/\vee (no hace falta \amssymb). Los nombres \land/\lor leen claramente como lógica y convienen a fórmulas proposicionales; \wedge/\vee se prefieren cuando el significado no es “lógica”: productos exteriores, meet/join de retículos, etc. La salida es idéntica, así que elige según gusto y contexto. \implies/\iff son en realidad \Longrightarrow/\Longleftrightarrow con un espacio grueso (un \;) a cada lado; \iff es un comando del núcleo de LaTeX que amsmath redefine para mejorar ese espaciado. Mantén coherente el uso de \Rightarrow corto frente a \implies largo dentro de un documento.

Símbolos de conjuntos

Ahora los símbolos de conjuntos. El conjunto vacío tiene dos formas: el estándar \emptyset (∅) y \varnothing (∅) de amssymb. Este último es un círculo limpio cruzado por una diagonal, y muchas personas prefieren \varnothing al aspecto más alto de \emptyset, por eso lo listamos como forma recomendada. La pertenencia es ∈ (\in) con su negación ∉ (\notin), y el reflejado ∋ (\ni, “contiene como elemento”). La contención va de subconjunto propio ⊂ y subconjunto o igual ⊆ a sus reversos ⊃ y ⊇. Las operaciones de conjuntos son unión ∪, intersección ∩, diferencia ∖ (\setminus) y complemento ∁ (\complement, ams).

Algunas pautas. Para el conjunto vacío, conviene hacer de \varnothing (amssymb) la forma por defecto y mantenerla consistente en todo el documento. Que \subset signifique “subconjunto propio” o “subconjunto o igual” varía por área; para evitar ambigüedad usa ⊆ (\subseteq) o el símbolo dedicado de subconjunto propio ⊊ (\subsetneq, amssymb). La diferencia de conjuntos es \setminus (∖), no la barra de división /. \setminus está registrado como operador binario, así que A \setminus B recibe el espacio medio habitual a cada lado; el parecido \backslash (\) es un símbolo ordinario, de modo que A \backslash B se compondría sin espacio extra. Para diferencia de conjuntos, elige \setminus. El complemento suele escribirse con \complement como superíndice, A^\complement, aunque \overline{A} (barra) o A^c también son comunes.

Símbolos de prueba y turnstile

Estos símbolos marcan “derivable” y “satisface” en lógica y teoría de la prueba. ⊢ (\vdash) es el turnstile de la demostrabilidad sintáctica (“Γ ⊢ φ: φ es demostrable a partir de Γ”); ⊨ (\models) es el turnstile doble de la consecuencia semántica (“Γ ⊨ φ: Γ implica / satisface φ”). ⊣ (\dashv) es ⊢ reflejado de izquierda a derecha, también usado en notación de funtores adjuntos. ⊤ (\top) es verum / el elemento máximo y ⊥ (\bot) es falsum / el elemento mínimo (top y bottom de un retículo u orden); \bot también sirve como símbolo de “perpendicular / ortogonal”.

Todos son LaTeX estándar, sin paquete extra. \vdash y \models son relaciones, así que reciben espacio adecuado a cada lado y se componen de forma natural en expresiones bilaterales como Γ \vdash φ. Ten en cuenta que ⊤ y ⊥ son símbolos ordinarios, por lo que usarlos como relaciones binarias puede verse algo apretado.

Marcas de razonamiento (∴, ∵)

Por último, dos marcas que señalan el flujo de un argumento. ∴ (\therefore, “por lo tanto”) introduce una conclusión, y ∵ (\because, “porque”) introduce una razón. Ambas requieren amssymb; sin \usepackage{amssymb} en el preámbulo obtendrás un error “undefined control sequence”.

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

Como se componen como símbolos ordinarios, no reciben mucho espacio automáticamente. Añadir espaciado explícito (\ o \quad), como en \therefore\ arriba, mejora la lectura. Son comunes en la pizarra, pero la prosa matemática pulida a menudo prefiere palabras como “therefore” y “hence”, así que ∴ y ∵ conviene usarlos con criterio.