Fonctions de type log et mod

Quand vous saisissez dans une formule un nom de fonction comme \sin ou \log, il est composé droit (romain) avec les bons espacements. Ce n’est pas décoratif. En mode mathématique, chaque lettre est traitée comme une variable : écrire sin(x) tel quel revient donc au produit des trois variables s, i, n. C’est pourquoi LaTeX prédéfinit les noms de fonctions courants sous forme de commandes. Cette page couvre les familles trigonométrique, logarithmique et exponentielle, les opérateurs comme \lim et \max dont l’indice se place dessous, les formes modulaires \bmod et \pmod, ainsi que la définition de vos propres opérateurs.

Pourquoi les opérateurs nommés existent

En mode mathématique, chaque lettre est prise pour le nom d’une variable et composée en italique mathématique. Ainsi sin x ne donne pas « sinus », mais le produit des quatre quantités s, i, n, x, inclinées et espacées comme une suite de variables. Cela contredit la convention mathématique qui compose les noms de fonctions et les constantes en caractères droits.

La bonne méthode consiste à utiliser une commande dédiée comme \sin. LaTeX prédéfinit les noms des fonctions et opérateurs courants ; chacun est composé droit et reçoit automatiquement l’espacement d’opérateur correct. Par exemple \sin x produit le résultat attendu dans un manuel : « sin » droit, suivi d’une fine espace puis de la variable x. Toutes ces commandes font partie du LaTeX standard et ne demandent aucun paquet supplémentaire ; seule la définition de vos propres opérateurs requiert amsmath, comme indiqué plus bas.

Trigonométrie, logarithmes et exponentielle

Les plus fréquents sont les groupes trigonométrique, hyperbolique, logarithmique et exponentiel. Ce sont des opérateurs ordinaires : lorsqu’ils reçoivent un indice ou un exposant, celui-ci se place à droite du symbole, et non dessous. Les opérateurs avec limites dessous viennent dans la section suivante.

• Trigonométriques : \sin \cos \tan \cot \sec \csc, ainsi que les inverses \arcsin \arccos \arctan.
• Hyperboliques : \sinh \cosh \tanh \coth.
• Logarithmes : \log (logarithme en général), \ln (logarithme naturel), \lg (logarithme en base 2).
• Exponentielle et autres : \exp (exponentielle), \deg (degré), \dim (dimension), \ker (noyau), \hom, \arg (argument).

Les bases et les exposants s’ajoutent par le mécanisme ordinaire des indices et exposants. \log_2 x donne un logarithme en base 2, avec un petit 2 en bas à droite de « log », et \sin^2\theta place l’exposant 2 en haut à droite de « sin », la forme habituelle sin²θ. Choisissez \log, \ln et \lg selon le sens : \ln pour le logarithme naturel, \lg pour le logarithme en base 2, fréquent en théorie de l’information.

\[
  \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad
  \log_2 8 = 3, \qquad
  \ln e = 1.
\]

Dans cette formule hors texte, « sin », « cos », « log » et « ln » sont tous droits ; \sin^2\theta place le 2 en haut à droite de sin, et \log_2 8 le place en bas à droite de log. Les trois formules tiennent sur une ligne, séparées par le grand espace \qquad. À l’inverse, supprimer le \ comme dans sin^2\theta composerait s, i, n comme des variables inclinées, avec un espacement incorrect.

Opérateurs dont les limites se placent dessous

À côté des fonctions précédentes, certains opérateurs placent leur indice directement sous le symbole. Les limites, suprema et infima, maxima et minima en font partie, car la convention est d’afficher visiblement sous le symbole « sur quel domaine ou sous quelle condition » on opère.

• \lim (limite), \limsup (limite supérieure), \liminf (limite inférieure).
• \sup (supremum), \inf (infimum), \max (maximum), \min (minimum).
• \det (déterminant), \gcd (plus grand commun diviseur), \Pr (probabilité).
• Ajoutés par amsmath : \injlim et \projlim (limites directe et inverse, composées comme « inj lim » / « proj lim »), les variantes fléchées \varinjlim et \varprojlim, ainsi que \varlimsup / \varliminf, courantes en théorie des catégories et pour les limites de foncteurs.

Ils placent l’indice directement dessous en style hors texte et en bas à droite en style texte (en ligne). Le comportement est identique à celui des grands opérateurs comme \sum et \int, et dépend du style. Pour forcer la position dessous en ligne, utilisez \displaystyle ; voir « Sommes, intégrales et grands opérateurs ». Par exemple \lim_{x \to 0} place x→0 sous « lim » dans une formule hors texte, et en petit en bas à droite dans le texte courant.

\[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad
  \max_{1 \le i \le n} a_i .
\]

Dans cette formule hors texte, x→0 se trouve directement sous « lim » et 1≤i≤n sous « max », le corps de chaque expression suivant à droite ; \sin x est lui aussi correctement composé en caractères droits. Écrit en ligne sous la forme $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$, le domaine apparaît au contraire en petit en bas à droite de « lim ».

Arithmétique modulaire (mod)

Le « mod » de l’arithmétique modulaire prend plusieurs formes selon le contexte, avec des espacements et des parenthèses différents. Le LaTeX standard fournit \bmod et \pmod ; amsmath ajoute \mod et \pod.

\bmod est le mod comme opérateur binaire (b pour binary). Écrire 5 \bmod 3 met un espacement d’opérateur binaire autour de « mod » entre 5 et 3, soit « 5 mod 3 ». Utilisez-le pour désigner la valeur elle-même, le reste. \pmod{n}, en revanche, est le module entre parenthèses ajouté à une congruence. a \equiv b \pmod{n} place « (mod n) » un peu à droite de la formule, donnant « a ≡ b (mod n) » ; l’argument n est passé entre accolades. Avec amsmath, l’espace avant \pmod est automatiquement resserré dans les formules en ligne.

\[
  5 \bmod 3 = 2, \qquad
  17 \equiv 5 \pmod{12}.
\]

Dans cette formule hors texte, l’expression de gauche est composée avec l’espacement d’un opérateur binaire, « 5 mod 3 = 2 », et celle de droite comme « 17 ≡ 5 (mod 12) », avec le signe de congruence \equiv et un « (mod 12) » parenthésé en fin de formule.

Les deux formes ajoutées par amsmath sont des variantes de \pmod. \mod{n} compose seulement « mod n » sans parenthèses (forme que certains auteurs préfèrent, avec une espace avant), tandis que \pod{n} supprime « mod » mais garde les parenthèses, donnant « (n) ». Le tableau distingue les quatre formes.

Définir votre propre opérateur

Vous voudrez parfois composer correctement en caractères droits un nom de fonction absent de la liste : la fonction signe sgn, la trace tr, le rang rank, l’image Im. Pour un usage ponctuel, utilisez \operatorname{…} d’amsmath. \operatorname{sgn} x compose « sgn » droit avec le bon espacement, au même niveau de qualité que \sin et les autres.

Si vous utilisez souvent le même opérateur, déclarez-le une fois dans le préambule avec \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}. Dans le corps du document, il suffit alors d’écrire \sgn, la définition restant à un seul endroit. Pour un opérateur dont l’indice doit se placer directement dessous, comme \lim, utilisez la forme étoilée \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max} ; pour un usage ponctuel, \operatorname*{…} fait de même. Sans étoile, les indices et exposants vont à droite ; avec étoile, ils passent dessous en style hors texte. Tout cela vient d’amsmath, en interne du paquet amsopn chargé automatiquement, donc \usepackage{amsmath} est nécessaire.

\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
% 本文中 / in the body:
% \[ \sgn x, \qquad \argmax_{x \in S} f(x) \]

Après ces déclarations, dans une formule hors texte, \sgn x donne « sgn » droit et la variable x, tandis que \argmax_{x \in S} compose « arg max » avec une fine espace \, entre les mots et place x∈S directement dessous. Le \, dans le nom maintient le bon espacement entre « arg » et « max ». Une fois l’opérateur déclaré, changer plus tard la notation se résume à modifier une ligne du préambule, avec effet dans tout le document.