Symboles divers

En 1655, le mathématicien oxfordien John Wallis, dans un ouvrage sur les sections coniques, traça un huit couché que personne n'avait employé avant lui : c'est la naissance de l'infini ∞. Les « symboles divers » de cette page — les commandes LaTeX \infty, \partial, \nabla, \ell, \hbar, \dagger et leurs voisines, qui n'appartiennent ni aux lettres grecques, ni aux opérateurs, ni aux relations, ni aux flèches — sont presque toutes arrivées de la même manière : quelqu'un en a inventé une, une seule fois, et elle est restée. La suite parcourt celles que l'on tape réellement, classées par origine et par usage : lesquelles relèvent du LaTeX standard, lesquelles réclament amssymb, et comment éviter les confusions classiques entre \ell et un simple l, ou entre \prime et une apostrophe.

Pourquoi \infty dans le texte donne ! Missing $ inserted

Parce que presque tous les symboles de cette page sont des commandes réservées au mode mathématique. Tapez \infty en plein texte et LaTeX répond ! Missing $ inserted, puis tente d'ajouter le $ à votre place. Pour TeX, ∞ n'est pas un dessin mais un atome de classe ordinaire, et l'espacement qui découle de cette classe n'est tout bonnement pas défini hors du mode mathématique. Il faut donc l'encadrer : $\infty$. Font exception les marques prévues pour le texte courant — le signe de section \S (§), le signe de paragraphe \P (¶), \copyright (©) et les croix \dag et \ddag —, utilisables telles quelles en mode texte.

\usepackage{amssymb}   % needed for \varnothing, \square, \measuredangle, \circledR
% ...
The volume $V$ diverges to $\infty$, and the gradient is $\nabla f$.
\[
  \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad \angle ABC = 90^\circ, \qquad \hbar\omega
\]

L'autre ligne de partage est la règle des packages. \infty, \partial, \nabla, \angle, \ell, \hbar, \Re, \Im, \wp, \aleph, \surd, \prime, \dagger, \ddagger, \forall, \exists, \neg, \top, \bot, \emptyset, \flat, \sharp et \natural relèvent tous du LaTeX standard et ne demandent aucun package. En revanche \varnothing (la variante arrondie de ∅), \square (□), \measuredangle (∡), \circledR (®) et l'hébreu \beth (ℶ) sont des ajouts AMS : si \usepackage{amssymb} manque au préambule, la compilation s'arrête sur ! Undefined control sequence. Devant ce message, soupçonnez le package avant l'orthographe.

D'où viennent ∞, ∂, ∇ et ∠

Chacun de ces signes a été introduit par un auteur, puis adopté par la génération suivante. \infty (∞) apparaît pour la première fois dans le De sectionibus conicis de Wallis, en 1655 ; il n'a jamais expliqué le choix de cette forme. \partial (∂) — le d arrondi — a servi à Legendre en 1786 pour les dérivées partielles, avant qu'il ne l'abandonne ; Jacobi l'a repris en 1841, et cette fois il est resté. La plus belle histoire revient à \nabla (∇). Le nom « nabla » a été proposé par l'encyclopédiste William Robertson Smith dans une lettre de 1870 à Peter Guthrie Tait : le delta renversé lui évoquait une harpe phénicienne, νάβλα en grec. Tait et Maxwell ont continué d'employer ce surnom à demi plaisamment dans leur correspondance privée, et il a fini dans les manuels du monde entier.

En pratique, ces quatre signes se confondent volontiers avec des sosies, et la composition ne dira rien. \nabla (∇) et le delta majuscule \Delta (Δ) ne diffèrent que par le retournement : écrire Δ à la place d'un gradient compile sans broncher. \partial s'écrit toujours comme une commande et jamais sous la forme d'un d italique, faute de quoi le lecteur ne distingue plus la dérivée totale de la dérivée partielle. \infty sert bien plus souvent en indice que seul — \lim_{n \to \infty}, \int_0^{\infty} — et s'y compose automatiquement en plus petit. \surd (√) n'est que le crochet du radical ; sa barre ne s'allonge pas, et pour une vraie racine carrée on emploie \sqrt{x}, qui prend un argument. \angle (∠) est standard, mais l'angle mesuré \measuredangle (∡) et l'angle sphérique \sphericalangle (∢) réclament amssymb.

Quand une lettre devient un symbole : ℓ, ℏ, ℜ, ℘, ℵ

Ces signes ont commencé comme des lettres et, par un changement de caractère ou l'ajout d'un trait, ont pris un sens propre. \ell (ℓ) est un l minuscule cursif, employé pour les longueurs, les droites et les indices de suites. \hbar (ℏ) est un h barré qui désigne la constante de Planck réduite h/2π — exemple parfait de la nomenclature des physiciens, où un trait de plus donne une autre constante. \wp (℘) est un p calligraphique pour la fonction elliptique de Weierstrass, et \aleph (ℵ) la lettre hébraïque aleph pour les cardinaux infinis. \Re et \Im donnent les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe, et ce qu'ils composent n'est pas un R et un I romains mais des ℜ et ℑ en fraktur. Tous relèvent du LaTeX standard ; amssymb n'est pas nécessaire.

Deux décisions pratiques en découlent. D'abord, les ℜ et ℑ en fraktur font un peu ancien sur une page moderne, et les lecteurs les prennent parfois pour un R et un I. Pour composer un « Re » ou un « Im » droit en tant qu'opérateur, l'usage actuel est \operatorname{Re} et \operatorname{Im} d'amsmath, qui règlent aussi correctement l'espacement alentour. Ensuite, \aleph est standard, mais les lettres hébraïques qui suivent aleph — beth ℶ, gimel ℷ, daleth ℸ (\beth, \gimel, \daleth) — exigent amssymb. C'est presque toujours la raison pour laquelle un article de théorie des ensembles s'arrête sur ! Undefined control sequence devant un ℶ.

Quantificateurs, négation, ⊤/⊥ et ensemble vide

Les signes de la logique \forall (∀), \exists (∃), \neg (¬, alias \lnot), \top (⊤) et \bot (⊥) relèvent tous du LaTeX standard. ∀ est un A retourné pour « all », ∃ un E inversé pour « exists » : la forme porte son étymologie. Une distinction mérite d'être connue : \bot face à \perp. Le glyphe est ⊥ dans les deux cas, mais \bot est enregistré comme symbole ordinaire et \perp comme relation, d'où un espacement différent de part et d'autre. On écrit \bot pour le faux ou un plus petit élément, et \perp pour la relation de perpendicularité, comme dans AB \perp CD. De même, \top sert au vrai ou à un plus grand élément. Seul le quantificateur nié \nexists (∄) demande amssymb.

L'ensemble vide s'écrit de deux façons. Le \emptyset standard est une ellipse barrée qui, en Computer Modern, peut se lire comme un zéro aplati. Le \varnothing d'amssymb est un cercle barré, et beaucoup d'auteurs le préfèrent justement parce qu'on voit d'un coup d'œil que ce n'est pas un zéro. Les deux conviennent — mais ne pas les mélanger dans un même document ; un relecteur le remarque à tous les coups. Qui choisit \varnothing n'oubliera pas \usepackage{amssymb}, sous peine de ! Undefined control sequence. Le panorama complet des quantificateurs et des opérations ensemblistes se trouve sur la page des symboles d'ensembles et de logique.

Les croix † ‡ et le ∎ qui clôt une démonstration

La croix \dagger (†) et la double croix \ddagger (‡) sont toutes deux des symboles de mode mathématique du LaTeX standard. Comme appels de note dans le texte courant, on dispose des variantes \dag et \ddag, utilisables en mode texte. Dans une formule, en revanche, † ne signale pas une note mais l'adjoint, ou conjugué hermitien : A^{\dagger} se lit « A dague », et l'opérateur de création a^{\dagger} de la mécanique quantique en est le même usage. Comme il occupe presque toujours un exposant, on tape rarement \dagger seul.

Le carré évidé ∎ qui termine une démonstration s'appelle la pierre tombale (tombstone) ou symbole de Halmos. La page sur les flèches signale en passant que Paul Halmos l'a introduit en mathématiques ; l'histoire a une suite. Dans ses mémoires I Want to Be a Mathematician, Halmos écrit que le signe n'était nullement de son invention : il l'avait vu dans des magazines grand public, sans rapport avec les mathématiques, où il marquait la fin d'un article, et le leur a emprunté. Sa première utilisation en contexte mathématique date de 1950. En LaTeX, on le compose avec \square (□) ou \blacksquare (■) d'amssymb, mais en pratique l'environnement proof d'amsthm l'ajoute tout seul. \qedhere permet d'en fixer la position et \renewcommand{\qedsymbol}{...} d'en changer la forme.

Composer ♭, ♯ et ♮ — et pourquoi \sharp n'est pas #

Les trois altérations — bémol \flat (♭), dièse \sharp (♯) et bécarre \natural (♮) — sont des symboles mathématiques du LaTeX standard. Même dans le texte courant, il faut passer en mode mathématique : B$\flat$ ou $B\flat$. Le piège, ici, c'est #. Pour TeX, # est le caractère spécial qui désigne un argument de macro ; écrit dans le texte, il provoque une erreur, et pour l'imprimer il faut l'échapper en \#. Or ce que \# imprime est le croisillon, non le dièse musical ♯ : deux caractères distincts, de forme et d'inclinaison différentes. On écrira donc $C\sharp$ pour la note et C\# pour le langage de programmation. Composer une véritable partition est une autre affaire, réservée à des systèmes spécialisés.

Trois sosies : \ell et l, \prime et ', \Re et R

D'abord \ell (ℓ) face à un l en italique mathématique. Dans beaucoup de fontes mathématiques, le l minuscule italique se distingue à peine du chiffre 1 et de la barre verticale |, et le ℓ cursif existe précisément pour éviter cela. Pour les grandeurs que l'on veut lire « l » — longueurs, droites, indices —, \ell est le choix sûr. Ce qu'il ne faut surtout pas faire, c'est employer \ell et l pour deux grandeurs distinctes dans le même document : le lecteur les confondra, à tous les coups. Il faut trancher. Pour la même raison, les accents sur i et j reposent sur les formes sans point \imath (ı) et \jmath (ȷ) : \hat{i} fait entrer le point en collision avec le chapeau, d'où \hat{\imath}.

Ensuite, \prime (′) face à l'apostrophe. En mode mathématique, ' abrège ^{\prime} : f' et f^{\prime} produisent exactement la même chose. Un \prime nu pose sur la ligne de base un glyphe dimensionné pour l'exposant et fait mauvais effet ; on ne l'emploie donc presque jamais seul. TeX traite d'un bloc une suite de primes et le ^ qui la suit immédiatement, si bien que x'^2 se compose sans encombre. Ce qui casse, c'est l'ordre inverse : x^2' est lu comme x^2^{\prime} et s'arrête sur ! Double superscript. Il faut alors expliciter l'intention : {x^2}' ou x^{2\prime}. Notez enfin qu'une ' dans le texte courant est une apostrophe typographique, non un prime.

Troisièmement, \Re face à R. \Re compose le ℜ en fraktur, symbole tout à fait distinct de ℝ, l'ensemble des réels (\mathbb{R} d'amssymb ou d'amsfonts). « La partie réelle de z » s'écrit \Re z ou \operatorname{Re} z ; « z est réel » s'écrit z \in \mathbb{R}. Mélanger les deux égare le lecteur sur plusieurs lignes. La même prudence vaut pour \Im et \mathbb{I}.

% x'^2 is fine; x^2' raises ! Double superscript.
\[ f'(x), \quad f''(x), \quad x'^2, \quad {x^2}' \]
% real part vs the set of real numbers
\[ \Re z, \qquad \operatorname{Re} z, \qquad z \in \mathbb{R} \]
% dotless bases keep the accent clear
\[ \hat{\imath}, \quad \hat{\jmath}, \quad \ell = 2\pi r \]

Pour tout symbole absent de cette page, la réponse définitive est la Comprehensive LaTeX Symbol List de Scott Pakin (ctan.org/pkg/comprehensive), qui recense plus de vingt mille signes — 20 323 dans l’édition livrée avec TeX Live 2024 — avec les commandes et les packages qui les produisent. À peu près toute question du type « comment tape-t-on ce glyphe ? » s'y règle.