Symboles d’ensembles et de logique

Les symboles de la théorie des ensembles et de la logique - quantificateurs comme ∀ et ∃, connecteurs ∧, ∨, ¬, symboles d’ensemble comme ∈, ⊂, ∪, et marques de preuve ⊢, ⊨, ∴, ∵ - se saisissent tous en mode mathématique avec des commandes comme \forall, \in et \cup. Trois points sont à retenir : la plupart existent en LaTeX standard ; \land/\lor sont des alias de \wedge/\vee ; et quelques symboles, dont \nexists, \complement et \therefore, demandent le paquet amssymb. Cette page explique leur saisie, rassemble quantificateurs et logique, ensembles, preuves (turnstiles) et marques de raisonnement en tableaux, et clarifie des choix confus comme \varnothing ou \emptyset.

Saisie des symboles et paquets

Ces symboles s’utilisent en mode mathématique. Écrire \forall directement dans le corps du texte (mode texte) provoque une erreur ; il faut donc passer en mode mathématique, comme dans $\forall x$. Les noms de commandes reprennent leur sens anglais : \forall, \exists, \in (element of), \subset (subset), \cup (union), etc.

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

Ici, \forall, \exists, \in, \cup, \subseteq et \Rightarrow appartiennent au LaTeX standard et ne demandent aucun paquet supplémentaire. En revanche, \implies et \iff viennent de amsmath, tandis que \nexists, \varnothing, \complement, \therefore et \because (ci-dessous) exigent amssymb. En pratique, charger amsmath et amssymb dans le préambule rend disponibles tous les symboles de cette page.

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

Dans les tableaux ci-dessous, ce qui demande amssymb est marqué “(ams)” ; les commandes non marquées peuvent être considérées comme du LaTeX standard. Les symboles ont aussi une classe : \in et \subset sont des relations (un peu plus d’espace de chaque côté), \cup, \cap, \land, \lor sont des opérateurs binaires (espacement symétrique), et \forall, \neg, \top se composent comme des symboles ordinaires. Cette classe détermine l’espacement que LaTeX insère automatiquement.

Quantificateurs et connecteurs logiques

Commençons par l’ossature de la logique des prédicats : le quantificateur universel ∀ (\forall) et existentiel ∃ (\exists), avec la négation “il n’existe pas” ∄ (\nexists, ams). Les connecteurs de base sont au nombre de cinq : négation ¬, conjonction ∧, disjonction ∨, implication ⇒ et équivalence ⇔. L’implication et l’équivalence ont deux formes : \Rightarrow/\Leftrightarrow sont les flèches doubles courtes, tandis que \implies/\iff (amsmath) sont des flèches plus longues avec un espacement plus large de chaque côté, plus lisibles dans une chaîne de raisonnement proche du texte.

Quelques précautions. \neg et \lnot sont exactement identiques, et \land/\lor ne sont que des alias de \wedge/\vee (pas besoin de \amssymb). Les noms \land/\lor indiquent clairement une intention logique et conviennent aux formules propositionnelles ; \wedge/\vee sont préférés lorsque le sens n’est pas “logique” : produit extérieur, meet/join de treillis, etc. Le rendu est identique, donc choisissez selon le goût et le contexte. \implies/\iff sont en fait \Longrightarrow/\Longleftrightarrow avec un espace épais (un \;) de chaque côté ; \iff est une commande du noyau LaTeX que amsmath redéfinit pour améliorer cet espacement. Gardez un usage cohérent de \Rightarrow court et de \implies long dans un même document.

Symboles d’ensemble

Passons aux symboles d’ensemble. L’ensemble vide a deux formes : le \emptyset standard (∅) et \varnothing (∅) fourni par amssymb. Ce dernier est un cercle net barré en diagonale, et beaucoup préfèrent \varnothing au \emptyset plus haut ; nous le listons donc comme forme recommandée. L’appartenance est ∈ (\in), sa négation ∉ (\notin), et la forme réfléchie ∋ (\ni, “contient comme élément”). L’inclusion va du sous-ensemble propre ⊂ et du sous-ensemble ou égal ⊆ à leurs inverses ⊃ et ⊇. Les opérations d’ensemble sont l’union ∪, l’intersection ∩, la différence ∖ (\setminus) et le complément ∁ (\complement, ams).

Quelques repères. Pour l’ensemble vide, il est recommandé de prendre \varnothing (amssymb) comme forme par défaut et de rester cohérent dans tout le document. Le sens de \subset - “sous-ensemble propre” ou “sous-ensemble ou égal” - varie selon les domaines ; pour éviter l’ambiguïté, utilisez ⊆ (\subseteq) ou le symbole propre dédié ⊊ (\subsetneq, amssymb). La différence d’ensembles est \setminus (∖), pas la barre de division /. \setminus est enregistré comme opérateur binaire, donc A \setminus B reçoit l’espace moyen habituel de chaque côté ; le \backslash (\) visuellement proche est un symbole ordinaire, donc A \backslash B serait composé sans espace supplémentaire. Choisissez \setminus pour la différence d’ensembles. Le complément s’écrit souvent avec \complement en exposant, A^\complement, mais \overline{A} (barre) ou A^c sont aussi courants.

Symboles de preuve et turnstiles

Ces symboles marquent “dérivable” et “satisfait” en logique et en théorie de la preuve. ⊢ (\vdash) est le turnstile de la prouvabilité syntaxique (“Γ ⊢ φ : φ est prouvable à partir de Γ”) ; ⊨ (\models) est le double turnstile de l’entailment sémantique (“Γ ⊨ φ : Γ entraîne / satisfait φ”). ⊣ (\dashv) est ⊢ réfléchi de gauche à droite, également utilisé pour les foncteurs adjoints. ⊤ (\top) est verum / le plus grand élément et ⊥ (\bot) est falsum / le plus petit élément (haut et bas d’un treillis ou ordre) ; \bot sert aussi de symbole pour “perpendiculaire / orthogonal”.

Ils sont tous en LaTeX standard : aucun paquet supplémentaire n’est nécessaire. \vdash et \models sont des relations, donc ils reçoivent un espace approprié de chaque côté et se composent naturellement dans des formes bilatérales comme Γ \vdash φ. Notez que ⊤ et ⊥ sont des symboles ordinaires ; les utiliser comme relations binaires peut donner un espacement un peu serré.

Marques de raisonnement (∴, ∵)

Enfin, deux marques qui signalent le fil d’un argument. ∴ (\therefore, “donc”) introduit une conclusion, et ∵ (\because, “parce que”) introduit une raison. Les deux nécessitent amssymb ; sans \usepackage{amssymb} dans le préambule, vous obtenez une erreur “undefined control sequence”.

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

Comme ces marques se composent comme des symboles ordinaires, elles ne reçoivent pas beaucoup d’espace automatiquement. Ajouter un espacement explicite (\ ou \quad), comme dans \therefore\ ci-dessus, améliore la lisibilité. Elles sont courantes au tableau, mais la prose mathématique soignée préfère souvent des mots comme “therefore” ou “hence” ; ∴ et ∵ sont donc à employer avec mesure.