분수, 근호와 지수

분수, 근호, 이항계수는 수식 모드에서도 “글자 높이를 넘어 세로로 뻗는” 조판의 대표적인 요소입니다. 기본이 되는 \frac은 놓인 위치(본문 중인지 별행인지)에 따라 크기를 자동으로 바꿉니다. 하지만 의도한 모양이 나오지 않는 경우도 많고, 이때 amsmath 패키지의 \dfrac, \tfrac, \cfrac, 이항계수의 \binom 계열, 그리고 사선 분수 \nicefrac / \sfrac가 중요해집니다. 이 페이지에서는 각각이 무엇을 출력하는지, 어떤 패키지가 필요한지, 언제 구분해 쓰는지를 차례로 정리합니다.

기본 분수 \frac

분수를 조판하는 기본 명령은 \frac{분자}{분모}입니다. 이는 LaTeX 본체(core LaTeX)의 기능으로, amsmath를 읽어들이지 않아도 사용할 수 있습니다. 첫 번째 인수가 분자, 두 번째 인수가 분모이며, 둘 사이에 가로선(분수선)을 긋고 분자를 위에, 분모를 아래에 조판합니다. 예를 들어 \frac{1}{2}는 가로선을 사이에 두고 위에 1, 아래에 2가 있는 2분의 1이 됩니다.

\frac의 중요한 성질은 앞뒤 문맥(스타일)에 따라 크기가 자동으로 바뀐다는 점입니다. 본문에 삽입한 인라인 수식(텍스트 스타일)에서는 줄 높이를 크게 흐트러뜨리지 않도록 분자와 분모가 작고 조밀하게 조판됩니다. 같은 식을 \[ … \] 같은 별행(디스플레이 스타일)에 놓으면 여유 있게 크게 조판됩니다. 아래 예는 완전히 같은 \frac{a+b}{c}가 인라인과 디스플레이에서 어떻게 달라지는지를 보여 줍니다.

本文中では小さく組まれる: $\frac{a+b}{c}$ のように。

\[
  \frac{a+b}{c}
\]

앞의 것은 줄 안에 들어가는 얌전한 크기의 분수로, 뒤의 것은 독립된 줄 가운데에 크게 조판된 분수로 출력됩니다. 분수는 중첩(네스트) 할 수도 있습니다. 분자나 분모에 다시 \frac을 쓰면 여러 층의 분수가 됩니다. 다만 중첩한 안쪽 분수는 바깥쪽보다 더 작은 스타일로 조판되므로, 깊어질수록 읽기 어려워집니다.

\[
  \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}
\]

이 예에서는 분모 안에 다시 분수 \frac{1}{x}가 들어간 두 층의 분수가 조판됩니다. 안쪽의 \frac{1}{x}가 바깥쪽보다 한 단계 작게 조판된다는 점에 주목하세요. 깊은 중첩에서 각 층을 같은 크기로 유지하고 싶다면 다음 절 이후의 \dfrac나 연분수 전용 명령 \cfrac을 사용합니다.

크기를 고정하는 \dfrac와 \tfrac

\frac의 자동 크기가 불편할 때가 있습니다. 예를 들어 본문 중의 분수를 작게 찌그러뜨리지 않고 디스플레이와 같은 크기로 보이고 싶을 수 있습니다. 반대로 별행 수식 안에서 일부 분수만 작게 넣고 싶을 수도 있습니다. 이런 “스타일을 고정하고 싶다”는 요구에 답하는 것이 amsmath 패키지가 제공하는 \dfrac와 \tfrac입니다(둘 다 사용하려면 \usepackage{amsmath}가 필요합니다).

amsmath 사용자 가이드에 따르면 \dfrac는 {\displaystyle\frac ... }의 편리한 약기이고, \tfrac는 {\textstyle\frac ... }의 약기입니다. 즉 \dfrac{…}{…}는 놓인 곳과 관계없이 항상 디스플레이 크기(큰 분수) 로, \tfrac{…}{…}는 항상 텍스트 크기(작은 분수) 로 조판됩니다. 인수를 받는 방식은 \frac과 완전히 같아서, 첫 번째 인수가 분자, 두 번째 인수가 분모입니다.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
本文中でもフルサイズの分数: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$。

\[
  \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
\]

인라인의 \dfrac{\partial f}{\partial x}는 본문 줄 안에서도 디스플레이와 같은 크기의 편미분 분수로 조판됩니다(그만큼 줄 높이는 넓어집니다). 별행 예에서는 \dfrac를 중첩했기 때문에 바깥쪽과 안쪽 분수가 같은 크기로 조판되어, \frac를 중첩했을 때(안쪽이 줄어들 때)보다 읽기 쉽습니다. 구분해 쓰는 기준은 다음과 같습니다.

• \frac: 보통은 이것. 문맥에 맡겨 자연스러운 크기로 두고 싶을 때.
• \dfrac: 본문 중의 분수를 줄이지 않고 전체 크기로 보이고 싶을 때, 또는 중첩의 각 층을 같은 크기로 유지하고 싶을 때.
• \tfrac: 별행 수식 안에서 일부 분수만 작고 조밀하게 조판하고 싶을 때(지수나 첨자에 가까운 취급을 하고 싶을 때 등).

연분수 \cfrac

분모에 또 분수가 이어지는 연분수를 \frac 중첩으로 조판하면, 층이 깊어질수록 글자가 작아져 결국 뭉개져 읽을 수 없게 됩니다. amsmath 패키지의 \cfrac{분자}{분모}는 이 용도 전용 명령입니다. 각 층을 모두 디스플레이 크기로 맞추어 세로로 쌓기 때문에 층이 깊어져도 크기가 바뀌지 않습니다. 연분수에는 반드시 이것을 사용합니다.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}
\]

이는 1 +(분수 …)라는 연분수를 각 단계의 \cfrac가 모두 같은 크기로 세로로 쌓이는 형태로 조판합니다. 끝의 \cdots는 가운데 정렬된 세 점(…)으로 “이하 동일”을 나타냅니다. \frac으로 같은 것을 쓰면 안쪽일수록 작아지는 것과 뚜렷이 대비됩니다.

\cfrac 명령은 선택적 정렬 인수를 받습니다. amsmath 사용자 가이드의 표현을 빌리면, 분자의 왼쪽 정렬/오른쪽 정렬은 \cfrac 대신 \cfrac[l] 또는 \cfrac[r]을 사용해 지정합니다. [l]은 분자를 왼쪽 정렬, [r]은 오른쪽 정렬로 만들며, 아무것도 붙이지 않으면 가운데 정렬(기본값) 입니다. 연분수에서는 분모의 폭이 층마다 달라지므로, 분자의 가로 위치를 맞추고 싶을 때 이 인수가 유용합니다.

\[
  \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2}}}
\]

이 예에서는 각 단계의 분자 1이 각각의 분수선 왼쪽 끝에 맞추어 조판됩니다(기본값에서는 가운데에 옵니다).

이항계수 \binom

이항계수(조합의 수) “n개에서 k개를 고르는 것”은 가로선 없는 세로 배열을 둥근괄호로 감싼 형태로 씁니다. amsmath 패키지의 \binom{n}{k}가 이를 출력합니다. 위에는 n, 아래에는 k를 분수선 없이 세로로 놓고, 전체를 크기가 맞는 둥근괄호 ( )로 감쌉니다. \frac과 달리 분수의 가로선은 그리지 않습니다.

\frac에 \dfrac / \tfrac가 있는 것처럼, \binom에도 크기를 고정하는 관련 명령이 있습니다. \dbinom{n}{k}는 항상 디스플레이 크기, \tbinom{n}{k}는 항상 텍스트 크기로 조판합니다. 둘 다 amsmath가 필요합니다.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]

이는 왼쪽에 큰 둥근괄호로 감싼 n 위, k 아래의 이항계수, 오른쪽에 계승을 사용한 분수(n!을 k!(n−k)!로 나눈 형태)가 놓인 등식입니다. 오른쪽의 \,는 계승끼리 사이에 약간의 여백을 넣는 얇은 공백 명령입니다.

오래된 문헌이나 plain TeX 방식에서는 이항계수를 {n \choose k}로 쓰는 경우가 있습니다. 이는 TeX에서 온 일반화 분수 프리미티브를 사용하는 방식이지만, 현재는 amsmath의 \binom을 쓰는 것이 표준입니다. 같은 계열의 \over, \atop, \above(가로선 있음/가로선 없음/두께 지정 일반화 분수)도 amsmath를 읽어 들이면 경고를 내도록 되어 있으며, 가이드는 대신 \frac이나 \genfrac을 사용하라고 권합니다. \genfrac{왼쪽 구분자}{오른쪽 구분자}{선 두께}{스타일}{분자}{분모}는 이러한 분수와 이항계수의 모양을 한꺼번에 제어할 수 있는 amsmath의 범용 명령이며, \frac, \binom, \cfrac 등은 모두 이 구조 위에 만들어져 있습니다. 네 번째 인수인 스타일은 정수 0–3으로, 각각 \displaystyle, \textstyle, \scriptstyle, \scriptscriptstyle에 대응합니다(비워 두면 문맥을 따릅니다). 예를 들어 \binom은 내부적으로 \genfrac{(}{)}{0pt}{}{…}{…}로 정의되어 있으며, 세 번째 인수인 선 두께를 0pt로 고정해 “가로선을 그리지 않음”을 구현합니다.

근호 \sqrt와 n제곱근

제곱근(루트)은 \sqrt{내용}으로 조판합니다. 이는 LaTeX 본체의 기능으로, amsmath가 필요 없습니다. 근호 기호(√)를 출력하고, 그 오른쪽 위에서 뻗는 가로선(vinculum)이 내용 전체를 덮습니다. 내용의 높이와 폭에 맞추어 근호와 가로선의 크기가 자동으로 조정되므로, \sqrt{x}도 \sqrt{x^2 + y^2}도 각각의 내용에 꼭 맞는 크기로 조판됩니다.

n제곱근(세제곱근 등)은 생략 가능한 인수를 대괄호로 주어 \sqrt[n]{내용}이라고 씁니다. 근호 기호의 왼쪽 위에 작은 지수 n이 붙습니다. 예를 들어 세제곱근은 \sqrt[3]{x+y}라고 쓰며, 근호의 왼쪽 위에 작은 3이, 가로선 아래에 x+y가 조판됩니다.

\[
  \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sqrt[3]{x+y}, \qquad \sqrt[n]{a}.
\]

이는 근호 아래에 x²+y²를 담은 제곱근, 왼쪽 위에 3이 붙은 세제곱근, 왼쪽 위에 n이 붙은 n제곱근이 \qquad(넓은 간격)로 구분되어 나란히 출력되는 예입니다. n제곱근 지수의 위치나 크기를 미세 조정하고 싶을 때는 amsmath가 제공하는 \sqrt[\leftroot{…}\uproot{…}n]{…} 형태의 조정 명령도 사용할 수 있지만, 일반적인 용도에서는 기본 위치로 충분합니다.

지수(거듭제곱) 조판 방법

지수(거듭제곱)는 위첨자로, 캐럿 ^를 사용해 조판합니다. x^2는 x의 오른쪽 위에 작은 2가 붙은 “x의 2제곱”입니다. 이는 LaTeX 본체의 기능으로 패키지가 필요 없습니다. 지수가 두 글자 이상일 때는 반드시 중괄호로 묶습니다. x^{10}은 올바르게 “x의 10제곱”이 되지만, x^10이라고 쓰면 x의 1제곱 뒤에 별도의 0이 이어지는 의도하지 않은 조판이 됩니다.

지수, 분수, 근호는 함께 쓰이는 일이 많으며, 여기까지의 명령을 하나의 식에서 사용하면 다음과 같습니다. 중괄호로 범위를 명확히 하는 것이 올바른 조판의 핵심입니다.

\[
  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

이는 이차방정식의 근의 공식입니다. 분자에 “−b ± √(b²−4ac)”, 분모에 “2a”가 들어간 큰 분수로, 별행 가운데에 조판됩니다. 근호 안의 b^2는 위첨자 2제곱이고, \pm은 “±”(플러스마이너스) 기호입니다. 같은 문자에 지수와 첨자를 붙이고 싶을 때(예: x^2_i)의 자세한 처리나 글자 간격 미세 조정은 별도 페이지 “첨자와 간격”을 참조하세요.

사선 분수 \nicefrac와 \sfrac

본문 중의 “2분의 1”을 세로 배열이 아니라 a/b처럼 작고 비스듬하게 조판하고 싶을 때가 있습니다(단위의 “1/2” 등). 이때는 nicefrac 패키지의 \nicefrac{a}{b}를 사용할 수 있습니다. 분자와 분모를 슬래시를 중심으로 비스듬히 어긋나게 나란히 놓아, 줄 높이를 흐트러뜨리지 않고 넣습니다. 이 명령은 기본으로 사용할 수 없으며, 프리앰블에 \usepackage{nicefrac}가 필요합니다.

더 새롭고 권장되는 대안은 xfrac 패키지의 \sfrac{a}{b}입니다. CTAN의 nicefrac 설명 자체도 nicefrac의 기능은 xfrac 패키지가 더 세련된 형태로 제공한다고 말합니다. \sfrac는 텍스트 모드와 수식 모드 모두에서 사용할 수 있고, 글꼴에 맞춘 모양 조정도 더 세심합니다. 새 문서에서는 \usepackage{xfrac}와 \sfrac를 쓰는 것이 무난합니다.

% nicefrac の場合: \usepackage{nicefrac}
所要時間は約 \nicefrac{3}{4} 時間です。

% xfrac の場合（推奨）: \usepackage{xfrac}
およそ $\sfrac{1}{2}$ に相当します。

어느 경우든 3/4와 1/2는 본문 줄 높이에 들어가는 작은 사선 분수로 조판됩니다. 용도별 구분은 이렇게 하면 좋습니다. 세로로 크게 조판하고 싶은 분수는 \frac나 \dfrac, 행 안에서 작고 비스듬하게 보이고 싶은 분수는 \sfrac(또는 \nicefrac)를 사용합니다.