화살표

등호는 1557년에 만들어졌고, 더하기와 빼기는 15세기까지 거슬러 올라갑니다. 그런데 오늘날 수학에서 가장 눈에 띄는 기호인 화살표가 널리 쓰이기 시작한 것은 20세기에 들어서였습니다. 게다가 자리를 잡자마자 화살표는 주인공이 되었습니다. 범주론에서는 대상 자체보다 대상 사이의 화살표가 더 중요하다고 봅니다. 이 페이지에서는 LaTeX으로 조판할 수 있는 약 40종의 화살표를 모양이 곧 의미를 말해 준다는 하나의 줄기로 정리합니다. 어느 것을 고를지는 대개 생김새가 알려 줍니다.

화살표는 수식 모드의 주민입니다

TeX에게 화살표는 그림이 아니라 관계 기호이며, 관계 기호는 양옆에 정해진 간격을 둡니다. 본문에 \to를 그냥 쓰면 단순히 보기 나쁜 것이 아니라 오류가 나는 이유가 여기에 있습니다. 수식 모드 밖에서는 그 간격 규칙 자체가 존재하지 않기 때문입니다. $f\colon A \to B$처럼 먼저 수식 모드로 들어가야 합니다. 이름 짓는 방식은 철저히 기계적입니다. 방향(left, right, up, down)에 모양을 결합할 뿐입니다. 첫 글자를 대문자로 하면 두 줄 형태(\Rightarrow ⇒), long을 붙이면 긴 형태(\longrightarrow ⟶)가 됩니다. 외우는 대신 조립할 수 있습니다.

% a map, and a chain of implications
\[
  P \implies Q, \qquad x \to 0, \qquad a_n \to L \;(n \to \infty)
\]

유래를 알면 다시는 잊히지 않는 별칭이 둘 있습니다. \to는 \rightarrow의, \gets는 \leftarrow의 별칭인데, \gets라는 이름은 수학이 아니라 전산학에서 왔습니다. x \gets 1은 “x가 1을 받는다(gets)”, 곧 대입입니다. TeX을 만든 커누스는 『The Art of Computer Programming』의 저자이기도 해서, 알고리즘을 기술하는 어휘를 그대로 조판 시스템에 들여왔습니다. 다른 하나는 \iff(⟺)입니다. “iff”라는 약어를 퍼뜨린 사람은 수학자 폴 홀모스이고, 증명 끝에 놓는 속 빈 사각형 ∎ 역시 그가 수학에 들여와 지금도 홀모스 기호라고 불립니다. 실무에서는 사상과 극한에 짧은 \to・\gets를, 동치 서술에 \iff를 씁니다.

수평 화살표: 두 번째 선이 하는 일

수평 화살표에는 홑선 계열(\leftarrow, \rightarrow, \leftrightarrow)과 겹선 계열(\Leftarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow)이 있고, 각각 long을 붙인 긴 형태가 마련되어 있습니다. 홑선과 겹선의 구별은 장식이 아닙니다. 독자들이 공유하는 관례에 따라 홑선 →는 집합이나 대상 사이의 사상을, 겹선 ⇒는 명제 사이의 함의를 맡기 때문입니다. 그래서 “f: A → B”와 “P ⇒ Q”가 같은 지면에 놓여도 선의 개수만으로 서로 다른 층위의 이야기임이 전달됩니다. 긴 형태는 길이가 고정이며, 이 페이지 끝에 나오는 신축 화살표와는 다릅니다.

서술이 많은 논리 문장에서는 amsmath의 \implies(⟹)와 \impliedby(⟸)를 함께 쓰면 표기가 고르게 정리됩니다. 내용은 \Longrightarrow・\Longleftarrow에 양쪽 여백을 더한 것으로, \iff와 같은 간격을 씁니다. “P \implies Q \iff R”처럼 늘어놓으면 기호 앞뒤에 숨 쉴 틈이 생기고, 더해진 여백이 구두점처럼 작동해 긴 식에서도 끊어 읽을 자리가 보입니다. 반대로 빽빽한 \Rightarrow를 늘어놓으면 식이 뭉치기 쉽습니다.

모양이 곧 정의가 될 때: 사상과 갈고리 화살표

여기서부터 화살표는 어휘가 됩니다. \mapsto(↦)는 꼬리에 세로줄이 붙은 화살표로, “집합 A에서 집합 B로”가 아니라 “이 원소가 저 원소로 간다”를 뜻합니다. x \mapsto x^2와 f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}를 나란히 쓰면 사상 자체와 원소의 대응을 한 줄 안에서 구분해 적을 수 있습니다. 이 표기는 수학자 집단 부르바키의 저작을 통해 퍼졌습니다. \hookrightarrow(↪) 꼬리의 갈고리는 걸어 잡는 이미지로, 관례상 포함 사상——부분집합을 본래 모습 그대로 더 큰 집합에 묻어 넣는 사상——을 나타냅니다. 둘 다 표준 LaTeX이라 패키지가 필요 없습니다.

\[
  f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2,
  \qquad \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}
\]

단사성이나 전사성을 대놓고 밝히고 싶을 때 화살표의 조형은 가장 말이 많아집니다. amssymb의 \rightarrowtail(↣)은 꼬리 쪽에 “꼬리”가 자라고, \twoheadrightarrow(↠)는 화살촉이 겹으로 됩니다. 꼬리는 “저마다 다른 목적지로”, 곧 단사로 읽히고, 겹 화살촉은 “건너편을 남김없이 덮는다”, 곧 전사로 읽힙니다. 둘을 모두 갖춘 ⤖는 전단사를 나타냅니다. 즉 화살표를 꼬리・몸통・촉의 세 부품으로 분해하면 의미가 그대로 읽힙니다. 다만 이런 기호는 문맥에 의존하므로 논문에서는 처음 나올 때 한 번 정의해 두는 편이 안전합니다. \mapsto를 포함의 뜻으로 전용하지 말고, \hookrightarrow와 \rightarrowtail을 혼동하지 마세요.

수직과 대각: 도식의 뼈대

수직과 대각 화살표가 가장 활약하는 곳은 가환 도식입니다. 이런 도식이 본격적으로 쓰이기 시작한 것은 1945년, 새뮤얼 에일렌베르크 와 손더스 매클레인 이 범주론을 세운 논문에서였고, 이후 “대상을 꼭짓점, 사상을 변으로 그린다”는 수학 서술 방식이 정착했습니다. 수직 계열은 홑선 \uparrow, \downarrow, \updownarrow와 겹선 \Uparrow, \Downarrow, \Updownarrow입니다. 대각 네 방향은 \nearrow(↗), \searrow(↘), \swarrow(↙), \nwarrow(↖)이며, 이름은 그대로 북동・남동・남서・북서라는 방위입니다. 해석학에서는 ↗와 ↘가 단조 증가・단조 감소 수렴을 나타내기도 합니다. 또한 \uparrow 등은 \left … \right의 구분 기호로도 쓸 수 있습니다.

하푼과 amssymb: 한쪽 날 화살이 말하는 것

하푼(harpoon, 작살)은 화살촉의 날이 한쪽에만 있는 화살표입니다. 위 날과 아래 날을 결합한 \rightleftharpoons(⇌)는 화학에서 가역 반응・평형을 나타내는 기호로 널리 쓰입니다. 한쪽 날이라는 점 자체가 의미여서, 위아래 화살표가 정반응과 역반응이라는 별개의 과정임을 보여 줍니다(양쪽 날인 ⇄와는 다릅니다). 화학식을 본격적으로 조판한다면 mhchem 패키지를 쓰면 \ce{A <=> B}처럼 적을 수 있고 계수와 상태 기호까지 함께 처리해 줍니다. 물리에서는 각운동량 관련 표기 등에도 얼굴을 내밉니다.

반면 겹 화살촉이나 꼬리, 파선 같은 장식적인 화살표는 표준 LaTeX에 들어 있지 않아 \usepackage{amssymb}가 필요합니다. amssymb는 미국수학회(AMS)가 마련한 글꼴과 매크로 모음의 일부로, 커누스가 처음 설계한 수식 글꼴만으로는 현장의 수학자에게 부족한 기호를 보충하려고 정비되었습니다. 뒤집어 말하면 다음 표에 늘어선 화살표는 모두 “누군가 논문에서 필요로 했기에” 존재합니다.

글자를 얹고 늘어나는 화살표

지금까지의 화살표는 길이가 고정이었습니다. amsmath의 \xrightarrow{…}와 \xleftarrow{…}는 위에 얹은 글자의 너비에 맞춰 몸통 자체가 늘어납니다. 사상에 이름을 붙이고 싶을 때——A \xrightarrow{\ f\ } B——또는 완전열이나 가환 도식의 변에 조건을 덧붙이고 싶을 때 씁니다. 고정 길이의 \longrightarrow 위에 \stackrel으로 글자를 얹는 옛 방식도 있고 지금도 동작하지만, 글자가 화살표보다 길면 삐져나오므로 요즘은 신축 화살표를 쓰는 편이 자연스럽습니다.

\usepackage{amsmath}   % \xrightarrow, \xleftarrow
% \usepackage{mathtools} % also \xLeftarrow, \xhookrightarrow, \xmapsto
\[
  A \xrightarrow{\;f\;} B \xrightarrow{\;g\;} C,
  \qquad x \xrightarrow[n\to\infty]{} L
\]

대괄호로 된 선택 인수를 더하면 화살표 아래에도 글자를 놓을 수 있습니다. \xrightarrow[n \to \infty]{\ a_n\ }처럼 쓰면 위에는 사상의 이름을, 아래에는 조건을 나란히 둘 수 있어 극한이나 수렴에 대한 서술이 화살표 하나에 담깁니다. 도식 전체를 조판하는 단계가 되면 tikz-cd 같은 전용 패키지가 결국 더 빠르므로, 본문에 화살표 한 개만 필요하면 \xrightarrow, 도식 자체를 그리면 tikz-cd로 나누는 것이 실용적입니다.

정리하면 판단은 대체로 세 단계입니다. 사상이나 관계로 쓴다면 표준 LaTeX으로 충분합니다(\to, \mapsto, \hookrightarrow, \Rightarrow). 단사・전사・평형처럼 모양 자체에 의미를 담아야 한다면 amssymb를 씁니다. 글자를 얹고 늘려야 한다면 amsmath의 \xrightarrow 계열을 씁니다. 그리고 도식 자체를 그리는 단계가 되면 tikz-cd로 옮겨 갑니다. 화살표를 고르는 일은 독자에게 “지금은 어느 층위의 이야기인가”를 말없이 전하는 일이기도 합니다.