二元运算符

「我不喜欢用 × 表示乘法，因为它太容易和字母 x 混淆。」1698 年，莱布尼茨在给约翰·伯努利的信里这样写道。每当你在 LaTeX 里犹豫该敲 \times 还是 \cdot——两者都是本页要讲的二元运算符——你其实就在为一场延续了三百多年的争论选边。不过这里真正的主题并不是字形。TeX 会把公式中的每一个符号归入某个类，前后的间距完全由这个类决定；正因如此，$+1$ 里的 + 和 $a+1$ 里的 + 明明是同一个字符，排出来的宽度却不一样。本页通盘梳理 \times、\div、\cdot、\pm、\oplus、\cup、\setminus 这些运算符，说明哪些需要 amssymb，并给出 TeX 判断失误时用 \mathbin 纠正的办法。

\cdot 与 \times 的区别：乘号该用哪一个

默认用 \cdot（⋅）。公式里数与数、量与量相乘时用中点，把 \times（×）留给向量的叉积、笛卡儿积、维数记法（3 \times 3 矩阵）以及十的幂（6.02 \times 10^{23}）。这种分工正是从莱布尼茨的抱怨里长出来的。把 × 印上书页并让它流行起来的是威廉·奥特雷德，见于 1631 年伦敦出版的《Clavis Mathematicae》；可是在代数里，x 又恰恰是未知数最常用的名字。于是在 1698 年 7 月 29 日的信中，莱布尼茨否掉了这个叉号，改而建议在两个量之间点一个点。赢的是他。今天的数学著作里几乎见不到表示乘法的 ×，原因就在这里。

除号 \div（÷）也有一段类似的经历。这个符号叫 除号线（obelus），最早把它用于除法的是约翰·拉恩，见于 1659 年的《Teutsche Algebra》。然而规定科技领域数学记法的 ISO 80000-2 标准明确指出：除法应使用斜线 / 或分数线，比则使用冒号 :，而 ÷ 不应使用。实用结论很简单——论文和技术文档里写 \frac{a}{b}，不写 \div。\div 的用武之地大概只剩下基础教育教材和计算器。还有一个坑：用句点代替 \cdot 写成 a.b 是行不通的。TeX 不把句点当作运算符，两侧不加间距，在 10pt 文档中实测 $a.b$ 为 12.36pt，而 $a \cdot b$ 为 16.80pt——看上去像小数点而不是乘号。反过来，直接敲 * 却没有问题：数学模式下的 * 和 \ast 是同一个二元运算符，排出来完全一致。

% \cdot for ordinary products; \times for cross products, dimensions, powers of ten
\[ 2 \cdot 3 = 6, \qquad \mathbf{u} \times \mathbf{v}, \qquad 6.02 \times 10^{23} \]
% a period is not a multiplication dot: it gets no operator spacing
\[ a.b \qquad a \cdot b \]
% in scientific writing prefer a fraction to the obelus
\[ \frac{a}{b} \qquad a \div b \]

为什么只有 $+1$ 里的 + 挤在一起

二元运算符是连接左右两边的符号，因此一旦某一侧没有可连接的东西，TeX 就判定它根本不是二元运算符。排在式首的 + 会被降格为符号（一元），两侧不加任何间距。看数字最清楚：在 10pt 文档中 $+1$ 宽 12.78pt；而写成 ${}+1$，前面放一对空花括号，+ 就有了左操作数，重新成为真正的二元运算符，宽度涨到 17.22pt。相差的 4.44pt，正是每侧 2.22pt。这 2.22pt 来自参数 \medmuskip（默认 4mu plus 2mu minus 4mu），它比关系符使用的 \thickmuskip（5mu plus 5mu，每侧 2.78pt）窄——所以 $a=b$ 排得比 $a+b$ 松。无论你在源文件里敲多少个空格，输出都不会变。决定间距的只有类。

这套机制也会在意想不到的地方反噬：花括号会抹掉符号的类。$a\times b$ 宽 21.80pt，可一旦写成 $a{\times}b$，立刻缩到 17.36pt——被括起来的内容会被当作一个整体的普通符号（Ord 类），从此忘记自己曾是二元运算符。如果你自己写的宏出现「偏偏这个符号间距不够」的毛病，原因基本就在这里。补救办法是用 \mathbin{...} 包住：$a\mathbin{\times}b$ 又回到 21.80pt，与原本的 $a\times b$ 完全一致。反过来，想去掉间距就用 \mathord{...}，想当作关系符来排就用 \mathrel{...}——$a\mathrel{\times}b$ 排出来是 22.91pt，恰好等于 $a=b$ 的宽度。

% a leading + has nothing to bind: TeX makes it a sign and sets it tight
% an empty group gives it a left operand and the medium space comes back
\[ +1 \qquad {}+1 \]
% braces strip the class; \mathbin puts it back, \mathrel makes it a relation
\[ a \times b \qquad a {\times} b \qquad a \mathbin{\times} b \qquad a \mathrel{\times} b \]
% always declare the class when you define an operator of your own
\newcommand{\op}{\mathbin{\triangle}}
\[ x \op y \]

圆圈与方框运算符：哪些需要 amssymb

带圆圈的都是 LaTeX 标准，带方框的一律需要 amssymb——一句话基本就说完了。直和 \oplus（⊕）、张量积 \otimes（⊗）、用于阿达马积一类的 \odot（⊙），连同 \ominus、\oslash、\bigcirc，不加载任何宏包就能用。而方框一族——\boxplus（⊞）、\boxminus（⊟）、\boxtimes（⊠）、\boxdot（⊡）——以及圆圈里由 AMS 追加的 \circledast（⊛）、\circledcirc（⊚），都以导言区的 \usepackage{amssymb} 为前提。忘了加载，排版就会停在 ! Undefined control sequence.。至于该挑哪一个，依据是惯例：加法性的运算用 ⊕，乘法性的运算用 ⊗。范畴论和表示论的文献几乎无一例外都按这个读法来。

% circled operators are standard; boxed ones come from amssymb
\usepackage{amssymb}
% ...
\[ V \oplus W, \qquad u \otimes v, \qquad A \boxplus B \]

形状虽然相同，但 \bigoplus（⨁）、\bigotimes、\bigodot、\biguplus 这些放大版并不是二元运算符。它们与求和号 \sum 同属大型运算符，上下可带上下标，且在行内与行间公式中大小不同。想把 \oplus 放大时，用 \Large 之类硬撑会让上下标错位，务必改用 \bigoplus。详情见「和、积分与大型运算符」一页。

集合与格的运算符：\cup、\cap、\setminus

本节的角色全是 LaTeX 标准符号，不需要额外宏包。交集 \cap（∩）、并集 \cup（∪）、多重集之和 \uplus（⊎）、差集 \setminus（∖）。在格与序集里会遇到方形的 \sqcap（⊓）、\sqcup（⊔）；在逻辑里则是 \wedge（∧）、\vee（∨），后两者还有别名 \land、\lor。字形完全相同——区别只在于逻辑语境下这两个名字读起来更贴切。这里最常见的事故，是把差集写成 \backslash。这个命令属于普通符号（Ord 类），拿不到二元运算符的间距：10pt 下实测 $A \backslash B$ 为 20.59pt，而 $A \setminus B$ 为 25.03pt——每侧差了 2.22pt。差集请一律用 \setminus。若加载了 amssymb，还可以选用更细的 \smallsetminus（∖）。

% a set difference needs \setminus, not \backslash
\[ A \setminus B \qquad A \cup (B \cap C) \]
% \land and \lor are aliases of \wedge and \vee
\[ p \wedge q \iff p \land q \]

其余运算符，以及 \lhd not provided in base LaTeX2e 报错

剩下的是些零散符号，但个个都有用武之地。余积、不交并的 \amalg（⨿），表示伴随与对偶的 \dagger（†）和 \ddagger（‡），用于正规子群与群作用的 \triangleleft（◁）、\triangleright（▷）——都属 LaTeX 标准。再加上 amssymb 那边的常客：群论中的半直积 \ltimes（⋉）、\rtimes（⋊），用于转置的 \intercal（⊺），带点的 \dotplus（∔），以及 \divideontimes（⋇）。写代数方面的文档，迟早都要用到半直积，所以一开始就在导言区放上 \usepackage{amssymb} 反而更省事。

最后两行藏着一个坑。想用更粗的记号写正规子群而敲下 \lhd，纯 LaTeX 会停在 ! LaTeX Error: Command \lhd not provided in base LaTeX2e.。\lhd、\rhd、\unlhd、\unrhd 这几个名字只是在内核里被预留了，符号本体在别的宏包里。加载 \usepackage{latexsym} 或 \usepackage{amssymb} 中的任意一个，四个就都能用；若你本来就加载了 amssymb，则无需任何改动。反过来说，如果标准的 \triangleleft（◁）已经够用，你根本不会撞上这个错误。

自己定义运算符时，请回想本页开头关于类的那段话。像 \newcommand{\op}{\mathbin{\triangle}} 这样把类写明，此后只要敲 x \op y，两侧的间距 TeX 就会替你照管好。忘记指定类的宏会被当作普通符号（Ord），于是每用一次就得手动补一个 \,。在添加符号之前先定好类——围绕二元运算符的间距事故，基本靠这一步就能避免。