求和、积分与大型算子

1675 年 10 月 29 日，莱布尼茨在手稿里写下了 ∫。那是把 summa（和）的首字母 s 纵向拉长而成的长 s，这个形状至今仍在诉说：积分号本来就是「求和」的记号。求和号 Σ 则出自欧拉，见于其 1755 年《Institutiones calculi differentialis》第一章。然而在 LaTeX 里，这对兄弟般的符号行为迥异——在陈列公式中，\sum 把范围堆在上下，\int 却把它放在旁边。而且这种不对称就写在 \int 的定义里。本页讨论 \sum、\prod、\int、\oint、\bigcup 等大型运算符：限界如何附着、如何用 \limits／\nolimits 控制位置、如何用 \substack 写多行条件，以及如何用 \DeclareMathOperator 定义自己的运算符。

什么是大型运算符——「限界」不是普通下标

大型运算符，就是被 TeX 归入 \mathop 类的符号。\sum、\prod、\int、\bigcup 都属于此类，它们因此具有两个性质。其一，符号会根据周围的样式在大字形和小字形之间切换。其二，附加在它上面的下标 _ 和上标 ^ 不作为普通角标处理，而是作为限界。x_i 中的 i 只是放在字母右下方；而 \sum_{k=0}^{n} 中的 k=0 与 n 则可能被堆在符号的正下方和正上方。究竟是哪一种，取决于样式和符号的种类——这正是接下来几节的主题。

核心符号内建于标准 LaTeX（其实是底层的 TeX）之中，无需额外宏包。多重积分 \iint、\iiint，构造多行下标的 \substack，以及定义运算符的 \DeclareMathOperator，则都需要 amsmath 宏包。既然 amsmath 已是事实标准，认真排版数学时把 \usepackage{amsmath} 放进导言区就是最省事的做法。

\sum 与 \prod——范围放上下，还是放旁边

陈列公式中放上下，正文中放旁边。求和是 \sum，乘积是 \prod，余积是 \coprod，范围用下标 _ 和上标 ^ 给出。把 \sum_{k=0}^{n} a_k 放进 \[ … \]，Σ 会排得很大，k=0 在其正下方，n 在其正上方。把同一个式子用 $ … $ 嵌进正文，Σ 会缩小，k=0 与 n 则上下排在它的右侧。量一量盒子，差别一目了然：陈列版宽 14.54521pt、高 16.51393pt、深 13.02782pt，是竖长的；行内版宽 25.6008pt、高 8.04175pt、深 3.00005pt，是横长的。竖着长就是上下，横着长就是旁边。

% displayed: limits stack above and below
\[
  \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + \dots + a_n,
  \qquad \prod_{k=1}^{n} k = n!
\]

% inline: the same sum keeps its limits at the side
The series $\sum_{k=0}^{n} a_k$ fits inside the line.

这种「上下」与「旁边」的切换是与样式联动的默认行为。求和、乘积、余积一类所谓 sum 类符号，只在陈列样式下把限界堆在上下，在文本样式下则放到旁边；amsmath 把这套方案称为 displaylimits。这是个考虑周到的默认值，避免无谓地撑开行距。若范围只有一端，写一端即可；也可以把条件放在下限，例如 \sum_{i \in S}。需要注意的是：只要内容超过一个记号，就必须用 { } 括起来。写成 \sum_k=1，就只有 k 变成下标，=1 会溢到符号右边。

把条件写在积分号上下——\int 为何等于 \intop\nolimits

积分号 \int 即使在陈列公式中也把限界放在旁边。这个与求和不同的行为并非偶然，而是直接写进了定义。LaTeX 的 fontmath.ltx 第 253–254 行是这样的：\DeclareMathSymbol{\intop}{\mathop}{largesymbols}{"52}，紧接着 \DeclareRobustCommand\int{\intop\nolimits}。换句话说，\int 就是积分字形 \intop 贴上了一个 \nolimits——数学惯例被烧进了命令本身。第 260–261 行的 \oint 结构相同，是 \ointop\nolimits。反过来说，这也给了一个出口：直接使用光秃的字形 \intop 或 \ointop，就回到了 sum 类的默认行为。实测也印证：陈列中的 \int_0^1 宽 14.48615pt、高 15.65013pt，而 \intop_0^1 宽 10.00002pt、高 21.12231pt、深 15.789pt——一个向横里铺开，一个向纵向伸展。

\[
  \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1,
  \qquad \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
  \qquad \intop_{0}^{1} x^2\,dx
\]

多重积分也可以写成 \int\int 并排，但符号之间的间距会显得松垮。amsmath 提供了收紧间距的专用命令：二重 \iint、三重 \iiint、四重 \iiiint，以及在两个积分号之间打点的 \idotsint（∫⋯∫）。收紧的幅度是可以量出来的——在陈列公式中，\int\int 宽 21.66666pt，\iint 宽 16.66678pt，正好收紧 5pt，也就是 10pt 排版下的半个 em。实测 \iiint 为 23.33354pt，\iiiint 为 30.0003pt，\idotsint 为 34.9999pt。如果需要物理中常见的闭曲面、闭体积积分号，esint 宏包会补上 \oiint（闭曲面）、\varoiint、\sqint、\sqiint、\ointclockwise、\ointctrclockwise、\fint 等。\oiiint 并不在其中——需要三重闭积分时得另找字体类宏包。原生 LaTeX 只提供 \oint。

% preamble: \usepackage{amsmath}
\[
  \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy,
  \qquad \iiint_{V} f\,dV,
  \qquad \iiiint f, \qquad \idotsint_{A} f\,dV
\]

\limits 与 \nolimits——强制指定位置的两个命令

要覆盖默认行为，就在运算符后面写 \limits（强制上下）或 \nolimits（强制旁边）。想让正文中的求和把范围堆在上下，写 \sum\limits_{k=1}^{n}；反过来，想把条件写在陈列积分的上下，写 \int\limits_0^1。如上一节所示，后者与光秃的 \intop 结果相同：实测两者都是宽 10.00002pt、高 21.12231pt、深 15.789pt。要恢复与样式联动的默认行为，请使用 \displaylimits。

% force limits above and below inside running text
The partial sum $\sum\limits_{k=1}^{n} k$ sits in the line.

% force limits above and below on a displayed integral
\[
  \int\limits_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}
\]

位置是有规则的。\limits 必须紧跟一个 \mathop，否则就会以 ! Limit controls must follow a math operator. 中断（TeX 还会补一句 I'm ignoring this misplaced \limits or \nolimits command.）。例如 x\limits^2 和 \frac{1}{2}\limits 都会触发它。不过有一种常见的说法是「写在角标后面就会报错」，这是不对的。\sum_{k=1}\limits^{n} 能顺利通过，实测得到的盒子与 \sum\limits_{k=1}^{n} 完全相同：宽 14.54521pt、高 16.51393pt、深 13.02782pt。因为紧邻其前的仍然是那个运算符原子。话虽如此，写在运算符正后方对读者和自己都更清楚，请养成这个习惯。另外，当 \limits、\nolimits、\displaylimits 连着出现时，最后一个说了算：\sum\limits\nolimits_{k=1}^{n} 落在旁边，\sum\nolimits\limits_{k=1}^{n} 则落在上下。不过这条规则有一个例外：在 \log、\lim 这类函数名之后，只要载入了 amsmath，\limits 就会被悄悄忽略——amsopn.sty 用 \@ifnextchar\limits{\nolimits\@gobble} 把它吃掉了，既不报错也不警告。实测：不载入 amsmath 时 \log\limits_{k}x 的深度是 9.4722pt，载入后仍是 2.44443pt，与 \log_{k}x 完全一样。想把下标放到函数名下方，请改用 \DeclareMathOperator*。

若想在整篇文档层面改变方针，可以不用每次都写命令，而使用 amsmath 的宏包选项。amsmath.sty 第 46–49 行声明了 intlimits／nointlimits／sumlimits／nosumlimits，第 92–93 行的 \ExecuteOptions 把默认设为 nointlimits, sumlimits——正是前面描述的行为。写 \usepackage[intlimits]{amsmath}，文档中所有陈列积分都会把限界堆在上下。实际试验：此时陈列中的 \int_0^1 量得宽 10.00002pt、高 21.12231pt、深 15.789pt，与 \intop_0^1 一致。反过来传入 nosumlimits，求和号的限界就会移到旁边。在逐个公式撒 \limits 之前，值得先把它当作全文档层面的决定来考虑。

\lim 一族——用正体排版，条件写在下面

\lim（极限）、\limsup（上极限）、\liminf（下极限）与函数名一样，都以正体（罗马体）排版，但它们的角标遵循 sum 类的规则：陈列公式中下标落在正下方，行内则落在右下方。\limsup 与 \liminf 会排成「lim sup」「lim inf」两个词，中间留有恰当的空隙。\sup、\inf、\max、\min 属于同一族，也把下标放在下面（函数名清单另见「数学模式基础」页）。箭头 → 是 \to，无穷大是 \infty。

\[
  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0,
  \qquad \limsup_{n \to \infty} a_n \ge \liminf_{n \to \infty} a_n,
  \qquad \sup_{x \in X} f(x)
\]

\bigcup 系的 n 元运算符——给二元运算符加个 big

集合论、逻辑与代数中使用的 n 元运算符，也和 \sum 一样有排得较大的版本。命名很机械：取对应二元运算符的名字，前面加上 big。对应二元并集 \cup（A ∪ B）的可变大小版本就是 \bigcup。它们全都属于 sum 类，因此在陈列公式中把限界堆在上下，在正文中放到旁边。实测中，陈列的 \bigcup_{i=1}^{n} 宽 12.95433pt、高 16.51393pt、深 12.79865pt，与 \sum 几乎是同样竖长的盒子。

\[
  \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \qquad
  \bigcap_{i \in I} A_i, \qquad
  V = \bigoplus_{k} V_k
\]

在求和号下写两行条件——\substack 与 subarray

把 amsmath 的 \substack{…} 整个放在下标位置即可。由 \\ 分隔的每一行会居中纵向堆叠，于是可以把「0 ≤ i ≤ m」和「0 < j < n」分两行排在 Σ 的正下方。最后一行后面不要加 \\。若想左对齐，请使用更通用的 subarray 环境：\begin{subarray}{l} … \end{subarray}。{l} 表示左对齐，{c} 表示居中，换行同样用 \\。事实上 \substack 的定义就是 \subarray{c}…\endsubarray，两者不过是同一套机制的不同面孔。另外，在符号上方或下方架设括号与横线的 \overbrace、\underbrace、\overline 是另一个话题，由另一页「上下装饰」负责。这里讨论的始终是运算符的限界。

% preamble: \usepackage{amsmath}
\[
  \sum_{\substack{0 \le i \le m \\ 0 < j < n}} P(i,j)
  \qquad
  \sum_{\begin{subarray}{l} i \in \Lambda \\ 0 < j < n \end{subarray}} P(i,j)
\]

自己定义 argmax——\DeclareMathOperator* 里的星号是什么意思

有没有星号，决定条件是放在正下方还是右下方。当你需要一个标准清单之外的运算符名——argmax、argmin、esssup 等——要求以正体排版，并像 \lim 那样把下标放在正下方时，就用 amsmath 的 \DeclareMathOperator* 在导言区声明一次，正文中当作简短命令调用。不加星号，下标就落在名字的右下方。实测印证了这一点：\operatorname*{argmax}_{\theta} 的盒子深 9.4722pt（向下延伸），而不带星号的 \operatorname{argmax}_{\theta} 宽 37.05215pt、深仅 2.44443pt（改为向右延伸）。若只用一次，也可以不声明而直接写 \operatorname{rank}（要把限界放在下方则写 \operatorname*{…}）。

% in the preamble:
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

% in the body:
\[
  \hat{\theta} = \argmax_{\theta} L(\theta),
  \qquad \rank A \le n,
  \qquad \sideset{}{'}\sum_{n} a_n
\]

名字文本有专门的约定：连字符 - 会排成正文中的连字符（而非减号），星号 * 会排成升起的文本星号（而非居中的二元星号）。arg\,max 中的 \, 是分隔两个词的细空格。函数名应当用 \DeclareMathOperator 或 \mathrm 排版，而不是 \text{…}；这样前后的间距会自动调整，即使在定理环境这类斜体语境中也能保持正体。最后，若想在 sum 类符号的四角放置角标——比如给 Σ 加一个撇号（′）——可以使用 amsmath 的 \sideset。写 \sideset{}{'}\sum_{n} a_n，就能在保留下方限界的同时，在 Σ 的右上角加上撇号。第一个参数管左边两角，第二个参数管右边两角，每个参数内部写成 _{下}^{上}。请注意它只适用于 sum 类符号。