求和、积分与大型算子

求和 Σ、积分 ∫、集合并 ⋃ ——这些是在公式中以较大尺寸排版，并在上下或旁边带有范围（限界）的特殊符号。LaTeX 把这一类称为可变大小运算符（大型运算符），用 \sum、\int、\bigcup 等命令输出。共同机制是：下标 _ 和上标 ^ 会成为运算符的限界；在陈列公式中它们堆在符号上下，而在正文行内则放在符号右侧。本页整理限界如何附着、如何控制位置（\limits、\nolimits）、多行下标，以及如何定义自己的运算符。

什么是可变大小运算符

数学符号大致有两类：固定大小、能放在字高内的符号（+、=、\cup 等），以及会随排版语境改变大小的可变大小运算符。后者的代表是求和 \sum、乘积 \prod、积分 \int 和集合并 \bigcup。它们在陈列样式中排得较大，在文本样式中较紧凑，并且都会把下标和上标作为限界特殊处理。

“限界”指的是表示求和或积分范围的添字。写 \sum_{i=1}^{n} 时，i=1 是下限，n 是上限。它不同于普通下标 / 上标（如 x_i、x^2 那样位于字符右下或右上）：附着在可变大小运算符上的添字有时会放在符号正下方和正上方。具体是哪一种，取决于排版样式和符号种类；这就是下一节的主题。

核心成员内置于标准 LaTeX（更准确地说是底层 TeX），不需要额外宏包。多重积分 \iint、\iiint，后面会用到的多行下标 \substack，以及定义运算符的 \DeclareMathOperator 都需要 amsmath 宏包。amsmath 是事实标准，因此认真排数学公式时，建议在导言区写上 \usepackage{amsmath}。

求和、乘积与限界附着方式

求和是 \sum，乘积是 \prod，余积（对偶积）是 \coprod。范围用下标 _ 和上标 ^ 给出。例如在求和 \sum_{k=0}^{n} a_k 中，陈列公式会把求和号 Σ 排得很大，并把 k=0 放在其正下方、n 放在其正上方。同一个公式写在正文行内时，为了不扰乱行高，Σ 会变小，k=0 和 n 会小小地放在符号右侧上下排列。

別行立て:
\[
  \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + \dots + a_n,
  \qquad \prod_{k=1}^{n} k = n!
\]

本文中: 級数 $\sum_{k=0}^{n} a_k$ は行内に収まる。

这种上下 / 侧边的切换是随样式变化的默认行为。求和、乘积、余积这类“sum-class”符号在陈列样式中把限界堆在上下，在文本样式中放在侧边；amsmath 把这种方案称为 displaylimits（只在显示时上下放置）。这是合理的默认设置，可避免周围正文行距无谓变大。

范围只有一部分时，只写一侧添字即可。也可以把条件写在下限中，如 \sum_{i \in S}；在陈列公式中，i ∈ S 会放在 Σ 的正下方。添字跨越多个 token 时一定要用 { } 包起来（如 \sum_{k=1} 中的 k=1）。如果忘了这一点写成 \sum_k=1，只有 k 会成为下标，=1 会流到符号右侧。

积分——限界放在侧边

积分号是 \int，其范围（积分区间）同样用下标和上标给出。写 \int_a^b f(x)\,dx 会得到下端 a、上端 b 的定积分。关键是：积分的默认行为与求和不同。像 \int 这样的“integral-class”符号，即使在陈列公式中，也会把限界放在符号右侧。这符合数学排版习惯，因为 \int 的定义内部带有 \nolimits（侧边放置）。

\[
  \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1,
  \qquad \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
\]

即使在陈列公式中，这个例子也会把 0 放在 ∫ 的右下，把 ∞ 放在右上（如果是求和，则会堆在上下）。被积函数与 dx 之间的 \,（细空白）是数学排版中惯常加入的小间距。围道积分（沿闭曲线的积分）用 \oint，它是在 ∫ 上叠加一个小圆。

多重积分也可以通过重复符号写成 \int\int，但符号之间的间距往往显得笨拙。载入 amsmath 后，可以使用专门命令，间距会被最佳压紧：二重积分 \iint、三重积分 \iiint、四重积分 \iiiint，以及点列连接的多重积分 \idotsint（在两个积分号之间放点，如 ∫⋯∫）。这些命令在行内和陈列公式中都会调整间距。

\[
  \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy,
  \qquad \iiint_{V} f\,dV,
  \qquad \idotsint_{A} f\,dV
\]

如果需要物理中常见的闭合积分号，例如曲面和体积上的二重、三重围道积分，esint 宏包提供 \oiint、\oiiint 等命令。标准 LaTeX 只提供 \oint。

改变限界位置（\limits / \nolimits）

可以用两个命令覆盖默认位置。把 \limits 放在运算符紧后面，会强制限界放在上下；放 \nolimits 则强制放在侧边。例如，想让正文行内的求和范围放到上下，可写 \sum\limits_{k=1}^{n}；反过来，想让陈列公式中的积分限界上下堆叠，可写 \int\limits_0^1。

本文中で上下に: $\sum\limits_{k=1}^{n} k$

別行立ての積分を上下に:
\[
  \int\limits_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}
\]

这里关键是放置位置。\limits 和 \nolimits 必须放在所作用的运算符紧后面（写添字之前）。像 \sum_{k=1}\limits 这样放在添字之后会出错。如果连续出现多个 \limits、\nolimits、\displaylimits，则最后一个优先。

如果想恢复与陈列 / 行内样式联动的默认行为（sum-class 的 displaylimits），可使用 \displaylimits。下表总结了各类符号的默认行为以及覆盖命令的效果。

极限与上下极限（\lim 系列）

\lim（极限）、\limsup（上极限）、\liminf（下极限）是像函数名一样以直立体（roman）排版的运算符，但添字处理方式与可变大小运算符中的 sum-class 相同：在陈列公式中，下标位于正下方；在行内则位于右下方。\limsup 和 \liminf 分别排成“lim sup”和“lim inf”两个词，词间会有适当空白。

\[
  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0,
  \qquad \limsup_{n \to \infty} a_n \ge \liminf_{n \to \infty} a_n
\]

因为这是陈列公式，n→∞ 会排在 lim 的正下方。同一个公式写在行内时，n→∞ 会小小地放在 lim 的右下方。\sup、\inf、\max、\min 也属于同一类，会把下标放在下方（这些也汇总在“数学模式基础”的函数名小节中）。箭头 → 是 \to，无穷大是 \infty。

大型符号（n 元运算符）

集合论、逻辑和代数中使用的 n 元运算符也有像 \sum 一样的可变大小“大”版本。命令形式是在对应二元运算符名称前加 big。例如二元并集 \cup（A ∪ B）的可变大小版本是 \bigcup。这些全都是 sum-class，所以在陈列公式中把限界堆在上下，在行内则放在侧边。

\[
  \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \qquad
  \bigcap_{i \in I} A_i, \qquad
  V = \bigoplus_{k} V_k
\]

因为这是陈列公式，\bigcup_{i=1}^{n} 会把 i=1 堆在大 ⋃ 的正下方，把 n 放在正上方。\bigoplus_{k} 会把 k 放在放大的 ⊕ 下方，用一个符号表示直和 V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ …。若写在行内，这些限界都会小小地放在符号右侧。

多行下标（\substack 与 subarray）

在求和或大型运算符下面，常常需要把条件写成多行（例如“0 ≤ i ≤ m 且 0 < j < n”）。使用 amsmath 的 \substack{…} 时，用 \\ 分隔的每一行会成为居中堆叠的下标。注意要把整个 \substack{…} 放在下标位置。

\[
  \sum_{\substack{0 \le i \le m \\ 0 < j < n}} P(i,j)
\]

在陈列公式中，这会把“0 ≤ i ≤ m”和“0 < j < n”两行堆在求和号 Σ 的正下方，并且每行居中。\substack 中的 \\ 是换行分隔符，最后一行后面不要加。

如果想让各行左对齐，可使用更通用的 subarray 环境。\begin{subarray}{l} … \end{subarray} 中的 {l} 指定左对齐（{c} 则为居中），内容和 \substack 一样用 \\ 换行。当你希望条件式开头对齐时，这样更易读。

\[
  \sum_{\begin{subarray}{l} i \in \Lambda \\ 0 < j < n \end{subarray}} P(i,j)
\]

定义自己的运算符（\DeclareMathOperator*）

当你需要列表中没有的运算符名，并希望它以直立体排版、且下标位于正下方时——例如 argmax、argmin、esssup——可使用 amsmath 的 \DeclareMathOperator。在导言区声明一次后，就能在正文中作为短命令调用。若要把限界放在正下方（与 \lim 相同的 sum-class 行为），关键是使用带星号的 \DeclareMathOperator*。没有星号时，下标会放在函数名右下方。

% プリアンブルで:
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

% 本文で:
\[
  \hat{\theta} = \argmax_{\theta} L(\theta),
  \qquad \rank A \le n
\]

在这个例子中，\argmax 是带星号定义的，所以陈列公式会把 θ 放在 arg max 的正下方（行内则在右下）。名称文本中的 \, 是词间细空白，用来适当地分开“arg max”两个词。相对地，\rank 没有星号，所以 \rank A 会以直立体和合适间距排成 rank A，若加下标则位于右下。只用一次时，也可以不声明，直接写 \operatorname{rank}（若要把限界放下方，则写 \operatorname*{…}）。

名称文本内部有特殊约定：连字符 - 会按正文中的普通连字符排版（不是减号），星号 * 会按上抬的文本星号排版（不是居中的二元星号）。函数名应使用 \DeclareMathOperator 或 \mathrm，而不是 \text{…}；这样前后间距会自动调整，即使放在定理环境等斜体语境中也会保持直立。

一个相关技巧：如果想给 sum-class 符号的四个角加添字（例如给求和号加“prime（′）”），amsmath 提供 \sideset。写 \sideset{}{'}\sum_{n} a_n 可以在 Σ 的右上角加 prime，同时仍把限界放在下方。\sideset 只适用于 sum-class 符号；第一个参数指定左侧四角，第二个参数指定右侧四角。在每个参数中，可用 _{lo}^{hi} 的形式分别写下角和上角，因此 \sideset{_a^b}{_c^d}\sum 会在四个角分别放上不同添字（普通的 _、^ 限界仍照常附着）。