类 log 函数与 mod

\mathrm{sin} 和 \sin 印在纸上看起来完全是同一个 “sin”。可前者依然是错的，差别是 3.33325pt。在 LaTeX 中测量 $a\operatorname{op}b$ 得到 23.46638pt，$a\mathrm{op}b$ 则是 20.13313pt——直立的字形一模一样，但 \mathrm 前后不带任何空白。这 3.33325pt 不是装饰，而恰好是两个细空白，也就是 TeX 在 Op 原子（atom） 左右各放的一个。本页从这个原子讲起，接着定位内置的 32 个函数名写在 LaTeX 源码的哪里，解释为何恰好有 10 个把下标放在正下方，说明 \DeclareMathOperator 的星号改变了什么，并用实测宽度区分 \bmod、\pmod、\mod、\pod 这四种模运算写法。

为什么 \mathrm{sin} 是错的：原子类别决定间距

在数学模式中，每个英文字母都会被当作变量名并以数学斜体排版，所以输入 sin x 得到的不是“正弦”，而是 s、i、n、x 四个量的乘积。这一点广为人知，很多人想到的补救办法是 \mathrm{sin}——因为字形变直立后，问题看起来就解决了。但 \mathrm 改变的 只有字体。在 TeX 看来，原子类别仍然是 Ord，也就是普通符号。

TeX 把公式的各个成分分成 原子类别——Ord（普通）、Op（算子）、Bin（二元运算符）、Rel（关系符）等——并且完全根据相邻的是哪两类来决定间距。Ord 与 Ord 之间没有空白；Op 与 Ord 之间有一个 细空白（\thinmuskip，3mu）。\sin 是 Op，\mathrm{sin} 是 Ord，差别由此而来。在 10pt 正文中测量下面四项，这套机制会直接化为数字。

\DeclareMathOperator{\myop}{op}
% \sbox0{$...$}\message{\the\wd0}

$a\operatorname{op}b$        23.46638pt
$a\myop b$                   23.46638pt   % identical to \operatorname
$a\mathop{\mathrm{op}}b$     23.46638pt   % same font as \mathrm, but Op class
$a\mathrm{op}b$              20.13313pt   % 3.33325pt narrower

$\mkern3mu$  1.66663pt        % one thin space; two of them = 3.33326pt

第三行是决定性的。\mathop{\mathrm{op}} 使用的字体与 \mathrm 完全相同，宽度却与 \operatorname 精确到十万分之一磅一致。可见造成差别的不是字体，而是 \mathop 赋予的 Op 类别。而 3.33325pt 的差恰好是两个 1.66663pt 的细空白——a 与 “op” 之间一个，“op” 与 b 之间一个。“\mathrm 会让间距出错”这句流传已久的说法，至此精确到小数点后每一位都得到了解释。实用结论很简单：函数名一律用专用命令或 \operatorname 书写，绝不用 \mathrm。

内置的 32 个函数名，以及它们写在哪里

\log 和 \sin 的定义并不在某个宏包里，而在 LaTeX 本身的格式文件 latex.ltx 中。在 TeX Live 2024 里，它们占据第 12487 行到第 12518 行——正好 32 行——每行形如 \DeclareRobustCommand\log{\mathop{\operator@font log}\nolimits}。这份清单还要更古老：几乎同样的一组就在高德纳的 plain.tex 第 1058–1085 行。所以能写 \sin 并不是 amsmath 的功劳，它从一开始就可用，无需任何宏包（只有自定义算子时才需要 amsmath，见下文）。

• 三角函数：\sin \cos \tan \cot \sec \csc，以及反函数 \arcsin \arccos \arctan。
• 双曲函数：\sinh \cosh \tanh \coth——注意 \sech 与 \csch 并不包含在内，需要时请自行声明。
• 对数与指数：\log（一般）、\ln（自然对数）、\lg（以 2 为底，信息论常用）、\exp。
• 代数、几何等：\deg（次数）、\dim（维数）、\ker（核）、\hom、\arg（幅角）、\det（行列式）。
• 把标记放在正下方的 10 个：\lim \limsup \liminf \max \min \sup \inf \det \Pr \gcd。

底数和指数直接使用普通的上下标机制：\log_2 x 把 2 放在 “log” 右下，\sin^2\theta 把 2 放在右上，得到惯用的 sin²θ。有一个不读源码就不会注意的小细节：\limsup 的定义是 \mathop{\operator@font lim\,sup}——“lim” 与 “sup” 之间手工放了一个 \, 细空白。它不是一个连写的词，而是两个被刻意稍稍分开的词。

\[
  \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad
  \log_2 8 = 3, \qquad \ln e = 1.
\]

把标记放在正下方的 10 个，以及为何 \limits 无效

32 个当中有 22 个在定义末尾带 \nolimits，因此标记出现在右下方。其余 10 个——\lim \limsup \liminf \max \min \sup \inf \det \Pr \gcd——没有写 \nolimits。由于 \mathop 在陈列样式下的默认行为是“标记放在正下方”，所以正是这 10 个会在陈列公式中把 x→0 放在 \lim 之下。极限和最大值应当醒目地显示“在什么范围上”，这条数学惯例被直接写进了定义。在文本样式（行内）下，这 10 个也退回到右下方。

\[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad
  \max_{1 \le i \le n} a_i .
\]

这时很自然会想：既然 \limits 对 \sum、\int 有效，把它用在函数名上不就行了。可是 在加载 amsmath 的情况下，\log\limits_{k} 什么也不会发生——没有报错，没有警告，被静静忽略。原因在 amsopn.sty 第 27 行：\def\nolimits@{\@ifnextchar\limits{\nolimits\@gobble}{\nolimits}}。函数名的定义在末尾调用这个 \nolimits@，而 如果下一个记号是 \limits，它就先输出 \nolimits，再把那个 \limits 吃掉。实测也可佐证。

% depth of the box tells us where the script went (bigger = below the operator)

% WITHOUT amsmath — \log is \mathop{...}\nolimits, and \limits overrides it
$\displaystyle\log_{k}x$          d = 2.44443pt
$\displaystyle\log\limits_{k}x$   d = 9.47220pt   % moved below

% WITH amsmath — the \limits is swallowed by \nolimits@
$\displaystyle\log_{k}x$          d = 2.44443pt
$\displaystyle\log\limits_{k}x$   d = 2.44443pt   % unchanged: nothing happened

也就是说，\limits 的一般规则（可用于 \sum 等大型算子，详见“求和、积分与大型算子”）并不适用于 amsmath 下的函数名。反方向的 \nolimits 则能顺利通过，所以 \lim\nolimits_{k} 确实可以把 \lim 的标记赶到右下方。若想把标记放到正下方，正确答案不是 \limits，而是 下一节的带星声明。

\DeclareMathOperator 与 \operatorname：星号决定什么

当你要排一个不在清单里的名字——符号函数 sgn、迹 tr、秩 rank、ess sup、argmax——就轮到 amsmath 出场了。临时使用写 \operatorname{sgn} x；反复使用则在导言区 声明：\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}。正如本页开头的实测所示，声明得到的 \sgn 与 \operatorname{sgn} 宽度完全一致——它们调用同一个 \qopname，字面上就是同一样东西。声明的好处不在质量，而在于 集中于一处：以后想改记号，只需改导言区的一行。

\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}            % scripts to the right, like \log
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}   % scripts underneath, like \lim

% in the body:
% \[ \sgn x, \qquad \argmax_{x \in S} f(x) \]

星号决定的只有标记的位置。 不带星号得到的是 \log 一族（右下）；带星号得到的是 \lim 一族（在陈列公式中位于正下方）。临时使用时，\operatorname*{…} 效果相同。这一点同样可以量出来：把同一个 op 排在陈列公式中并加上 _{n\to\infty}，盒子的深度在无星号时为 2.44443pt，有星号时为 8.94444pt。多出来的深度，正是垂在符号下方的那个标记。名字里夹的 \,（arg\,max）与 \limsup 的定义出于同一理由：在两个词之间留出恰当的空白。

amsmath 还补充了上下极限一带的词汇。\varlimsup 与 \varliminf 是在 “lim” 上方（下方）加一条横线 的变体，比 \limsup 的 “lim sup” 拼法更具符号性。\injlim 与 \projlim 把正极限与逆极限排成 “inj lim”“proj lim”；\varinjlim 与 \varprojlim 则给出范畴论中常见的形态，在 “lim” 下方铺一支 →（或 ←）。它们和带星声明一样，标记都放在正下方。选哪一个应遵循所在领域的惯例；拿不准时，先看看投稿目标的样式文件是否已经定义过。

\bmod \pmod \mod \pod：用实测区分四种模写法

四种模写法之所以让人犹豫，是因为它们都打印出 “mod”，区别只在空白与括号。\bmod 和 \pmod 属于标准 LaTeX，\mod 和 \pod 来自 amsmath。设计上的差异从定义一眼可见：只有 \bmod 是用 \mathbin{…} 定义的——也就是作为 Bin 原子，与 +、- 同一类别——其余三个只是先插入一段空白再排出内容，相当于一条后置的注记。

\DeclareRobustCommand{\bmod}{\nonscript\mskip-\medmuskip\mkern5mu\mathbin
  {\operator@font mod}\penalty900
  \mkern5mu\nonscript\mskip-\medmuskip}
\DeclareRobustCommand{\pod}[1]{\allowbreak
  \if@display\mkern18mu\else\mkern8mu\fi(#1)}
\DeclareRobustCommand{\pmod}[1]{\pod{{\operator@font mod}\mkern6mu#1}}
\DeclareRobustCommand{\mod}[1]{\allowbreak\if@display\mkern18mu
  \else\mkern12mu\fi{\operator@font mod}\,\,#1}

请注意 \if@display。\pod 与 \pmod 在 陈列公式中放 18mu，行内放 8mu；\mod 则是 18mu 与 12mu。\bmod 没有这个分支——作为二元运算符，它只是左右对称地各放一个 \mkern5mu——因此它是四者中 唯一在陈列与行内宽度相同的一个。用 10pt 测量同一个式子 a … n，设计就直接化为数字。

把行内宽度从陈列宽度中减去，定义就精确地重现出来。\pmod 与 \pod 的差是 5.55542pt——即 18mu − 8mu = 10mu，在 10pt 下为 9.99976 − 4.44434 = 5.55542pt。\mod 的差是 3.33325pt，对应 18mu − 12mu = 6mu。\bmod 的差为 0。二者的取舍取决于含义。若你说的是 作为值的余数，用 \bmod（5 \bmod 3 = 2）；若你断言 两数在模 n 下同余，用 \pmod（17 \equiv 5 \pmod{12}）。把这两者弄混，读者就无法分辨你说的是“值”还是“关系”。

\[
  5 \bmod 3 = 2, \qquad
  17 \equiv 5 \pmod{12}.
\]