集合与逻辑符号

集合论和逻辑中的符号——∀、∃ 这样的量词，∧、∨、¬ 这样的逻辑联结词，∈、⊂、∪ 等集合符号，以及证明中使用的 ⊢、⊨、∴、∵——都在数学模式中用 \forall、\in、\cup 这样的命令输入。需要记住三点：多数符号在 LaTeX 标准中可用；\land/\lor 是 \wedge/\vee 的别名；少数符号如 \nexists、\complement、\therefore 需要 amssymb 宏包。本页先整理输入方式，再把量词与逻辑、集合、证明（turnstile）、推理标记分成便于查询的表格，并说明 \varnothing 与 \emptyset 这类容易混淆的选择。

符号输入与宏包

这些符号在数学模式中使用。把 \forall 直接写在正文（文本模式）中会出错，所以要先进入数学模式，例如 $\forall x$。命令名对应其英文含义：\forall、\exists、\in（element of）、\subset（subset）、\cup（union）等等。

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

这里的 \forall、\exists、\in、\cup、\subseteq、\Rightarrow 都是 LaTeX 标准命令，不需要额外宏包。相对地，\implies 和 \iff 来自 amsmath；后面出现的 \nexists、\varnothing、\complement、\therefore、\because 需要 amssymb。实际使用时，在导言区同时载入 amsmath 和 amssymb，本页所有符号都可使用。

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

在下表中，需要 amssymb 的项目会标为“(ams)”；没有注记的命令可视为 LaTeX 标准命令。符号还带有类别：\in 和 \subset 是关系符（两侧略宽），\cup、\cap、\land、\lor 是二元运算符（左右对称间距），\forall、\neg、\top 等按普通符号排版。这个类别决定 LaTeX 自动插入的间距。

量词与逻辑联结词

先看谓词逻辑的骨架符号。全称 ∀（\forall）和存在 ∃（\exists），以及其否定“并不存在”∄（\nexists，ams）。逻辑联结词基本有五个：否定 ¬、合取 ∧、析取 ∨、蕴含 ⇒、等价 ⇔。蕴含和等价各有两套写法：\Rightarrow/\Leftrightarrow 是较短的双线箭头；\implies/\iff（amsmath）是两侧带较宽间距的长箭头，写接近散文的推理链时更易读。

几点注意。\neg 和 \lnot 完全相同，\land/\lor 也只是 \wedge/\vee 的别名（不需要 \amssymb）。\land/\lor 这些名字能清楚表达逻辑意图，适合命题公式；\wedge/\vee 则常用于含义不是“逻辑”的语境，如外积、格的 meet/join 等。输出完全相同，所以按偏好和语境选择。\implies/\iff 实际上是在 \Longrightarrow/\Longleftrightarrow 两侧加上粗空白（相当于 \;）；\iff 是 LaTeX 内核命令，amsmath 会重新定义它以改善间距。在同一文档中，短的 \Rightarrow 和长的 \implies 应保持用法一致。

集合符号

接下来是集合相关符号。空集有两种字形：标准的 \emptyset（∅）和 amssymb 提供的 \varnothing（∅）。后者是被斜线穿过的规整圆形，许多人不喜欢 \emptyset 偏高的外观而更偏好 \varnothing，所以这里把它列为推荐形式。属于关系是 ∈（\in），否定是 ∉（\notin），反向的是 ∋（\ni，“以……为元素”）。包含关系包括真子集 ⊂、子集或等于 ⊆，以及反向的 ⊃、⊇。集合运算包括并集 ∪、交集 ∩、差集 ∖（\setminus）、补集 ∁（\complement，ams）。

一些使用建议。空集建议默认使用 \varnothing（amssymb），并在文档中保持一致。\subset 究竟表示“真子集”还是“子集或等于”，不同领域习惯不同；为避免歧义，可明确使用 ⊆（\subseteq），或专门表示真子集的 ⊊（\subsetneq，amssymb）。差集用 \setminus（∖），不是除法斜线 /。\setminus 注册为二元运算符，所以 A \setminus B 两侧会有合适的中等空白；外观相似的 \backslash（\）是普通符号，A \backslash B 两侧不会自动留空，因此集合差应选择 \setminus。补集常把 \complement 作上标写成 A^\complement，也常用 \overline{A}（横线）或 A^c 表示。

证明与 turnstile 符号

这些是在逻辑和证明论中表示“可导出”和“满足”的符号。⊢（\vdash）是表示句法可证明性的 turnstile（“Γ ⊢ φ：φ 可由 Γ 证明”）；⊨（\models）是表示语义蕴涵的双 turnstile（“Γ ⊨ φ：Γ 蕴涵 / 满足 φ”）。⊣（\dashv）是 ⊢ 的左右反向，也用于伴随函子的记号。⊤（\top）表示恒真 / 最大元，⊥（\bot）表示恒假 / 最小元（格或序中的顶与底）；\bot 也可用作“垂直 / 正交”的符号。

这些符号全都是 LaTeX 标准命令，不需要额外宏包。\vdash 和 \models 是关系符，所以两侧会有合适空白，像 Γ \vdash φ 这样的双边形式会自然排版。注意 ⊤ 和 ⊥ 按普通符号处理，如果像二元关系一样使用，间距可能显得偏紧。

推理标记（∴、∵）

最后是两个表示论证流向的符号。∴（\therefore，“因此”）引出结论，∵（\because，“因为”）引出理由。两者都需要 amssymb；导言区没有 \usepackage{amssymb} 时会出现“undefined control sequence”错误。

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

由于这些符号按普通符号排版，前后不会自动得到足够空白。像上例那样在 \therefore\ 后补上显式空白（\ 或 \quad）会更易读。它们在手写板书中很常见，但正式数学文章往往更偏好写成“therefore”“hence”等词，因此 ∴ 和 ∵ 应谨慎使用。