集合与逻辑符号

表示“存在”的 ∃ 是把大写 E 旋转半圈得来的，表示“任意”的 ∀ 则是把大写 A 上下颠倒。LaTeX 提供的集合论与逻辑符号——\forall、\exists、\in、\subset、\cup、\land——并不是设计好的体系，而是这类临时想法碰巧留了下来；这两个翻转字母之间隔着三十八年，出自两位不同的人。本页追踪这些临时想法，只谈今天写文档时仍要付出代价的地方：为什么 ⊂ 在不同读者眼里有两种含义，为什么 \setminus 和 \backslash 印出完全相同的图形却排版不同，以及为什么空集的记号是一个丹麦字母。

\forall 与 \exists：把字母倒过来就成了符号

两个符号都是 LaTeX 标准命令，\forall 和 \exists 都不需要宏包，而且它们真的就是被转过来的活字。朱塞佩·皮亚诺在 1897 年《Formulaire de mathématiques》第二卷中印出了表示“存在”的反写 E——那是他在 1889 年用希腊字母 epsilon 表示属于关系之后的第八年。上下颠倒的 A 出现得晚得多：它首见于格哈德·根岑的《Untersuchungen über das logische Schließen》，载《Mathematische Zeitschrift》第 39 卷（1935 年）第 178 页。也就是说，有三十八年之久，逻辑学只有“存在”的记号而没有“任意”的记号，约束变元就写在括号里，记作 (x)。否定形式 ∄ 更年轻，而且根本不在 LaTeX 内核中：\nexists 属于 amssymb。

它们全都住在数学模式里。在正文中写 \forall 不只是难看，而是会以 ! Missing $ inserted. 中断编译，因为数学模式之外根本不存在可以套用的间距规则。而模式之内套用的规则值得知道：fontmath.ltx 把 \forall 和 \exists 声明为 \mathord（普通符号），而不是关系符。因此量词本身不占间距，\forall x\exists y 会挤成一团；讲究的稿件写成 \forall x\, \exists y\, P(x,y)，在中间塞入细空白 \,，原因就在这里。

% quantifiers, and a set defined by a condition
\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x \mid x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff \forall x\,(x \in A \implies x \in B)
\]

\land 与 \wedge、\lnot 与 \neg：该敲哪一个

输出没有任何差别，所以哪个名字更能表达意图就敲哪个。fontmath.ltx 写的是 \DeclareMathSymbol{\wedge}{\mathbin}{symbols}{"5E}，接着为 \land 写了一行完全相同的声明——同类别、同字体、同槽位；\lor/\vee（"5F）与 \lnot/\neg（"3A）也是如此。六者都不需要 amssymb。已经定型的惯例是：逻辑公式里用逻辑的名字，而在 ∧ 表示的不是逻辑时用几何的名字——微分形式的外积写 \wedge，格的并写 \vee。读者在源文件里看到 \land，立刻知道这里是“且”。好处仅此一条，但只要文件还要给人看，这条好处就是实打实的。

\implies 和 \iff 需要单独说明。\iff 在 LaTeX 内核中已定义为 \;\Longleftrightarrow\;——长双线箭头，两侧各有粗空白——因此不需要任何宏包就能用。amsmath 把它重定义为 \DOTSB\;\Longleftrightarrow\;，间距毫无变化，变的是 \dots：\DOTSB 标记该命令属于二元运算符或关系符，使紧随其后的 \dots 排成居中的 ⋯，而不是贴在基线上。\implies 则只存在于 amsmath。在同一份文档里，短的 \Rightarrow 与长的 \implies 只选一个并贯彻到底；在证明中途换用，读者会以为这两个箭头含义不同。

\in、\notin、\ni：属于关系与 \epsilon 的陷阱

属于符号 ∈ 最初就是希腊字母 epsilon：皮亚诺在 1889 年用 ε 作为拉丁语 est（“是”）的缩写。这段来历，以及它的后果——x \epsilon A 会顺利编译，却因为 \epsilon 是 \mathord 而 \in 是 \mathrel，印出一个间距被挤掉的公式——在本参考的希腊字母页中有详细叙述。同一张声明表还能读出另外两件事。第一，\notin 并不是一个字符：fontmath.ltx 把它构造为 \mathrel{...\c@ncel\in}，在 \in 上叠印一道小斜线，所以斜线的位置是算出来的，而不是从字体里取来的，写成 \not\in 也落在完全相同的宽度上。第二，∋（\ni，“以……为元素”）另有一个声明到同一槽位的名字 \owns——在句子里 A \owns x 比 A \ni x 读起来更顺，而且不花任何代价。

\subset 与 \subseteq 的区别：⊂ 有两种读法

要表示“子集，可以相等”就写 \subseteq；要表示“严格更小”就写 \subsetneq。避开 ⊂ 的理由不是它错，而是它有两种读法：在相当大一部分文献中，A \subset B 允许 A = B，只是 ⊆ 的另一种写法；在另一大部分文献中，它断言 A ≠ B。两种读法都已确立，都出现在当今的教科书里，也都不会压倒对方。⊂ 与 ⊃ 这一对符号由恩斯特·施罗德在 1890 年《Vorlesungen über die Algebra der Logik》第一卷中引入，表示“被包含于”和“包含”；严格与否的问题是在此后的用法中分裂开的，至今仍未合拢。

实务上由此产生两个习惯。第一，文档若要用 ⊂，就在开头处声明一次采用哪种读法——很多书正是这么做的。第二，当严格与否支撑着论证时，就把话说明白：amssymb 的 \subsetneq（⊊）不留任何解释余地。amssymb 还提供 \subsetneqq（下方为双横线）以及 \varsubsetneq、\varsubsetneqq，它们只在斜线与横线的画法上不同；除非期刊格式点名要哪一个，\subsetneq 都是稳妥的默认选择。顺带一提，LaTeX 内核里根本没有真子集符号——这本身就透露了这套记法是怎样长成的。

\cup、\cap、\setminus——错用 \backslash 会怎样

\setminus 和 \backslash 从同一字体的同一槽位取来同一个图形——symbols 字体的 "6E 位。不同的只是它们被声明的类别，而故事到此为止。fontmath.ltx 写的是 \DeclareMathSymbol{\setminus}{\mathbin}{symbols}{"6E}，而把 \backslash 声明为 \mathord，源文件里还附了一句注释，说它是“为双陪集 G\backslash H 而设”。在 10pt 下把 A \setminus B 与 A \backslash B 并排量一量，盒子分别是 25.03pt 和 20.59pt：少掉的 4.44pt 正是二元运算符在两侧各取的 4mu 中等空白。不报错，不警告，差距又小到足以躲过校对——这正是值得一次性定下来的原因。集合差用 \setminus，\backslash 则留给它本来要服务的双陪集。

同样的陷阱，会以更大一号的尺寸出现在集合的内涵记法里。| 与 \mid 同样是一个字形——槽位 "6A——分别被声明为 \mathord 和 \mathrel。\{x \mid x > 0\} 量得 48.10pt，\{x | x > 0\} 为 42.54pt，相差 5.56pt，正是关系符在两侧各取的 5mu 粗空白。内涵记法里的竖线本来就是关系符——它把变量和关于变量的陈述隔开——所以正确选择是 \mid，用 | 会让整个集合黏成一团。若式子较高、括号需要撑大，写成 \left\{\, x \in X \;\middle|\; f(x) = 0 \,\right\}，竖线会随括号一起长高；而在 \left\{ ... \right\} 里放一个光秃秃的 \mid，括号撑大了，竖线还是原来的小个子。

% set difference and set-builder: pick the relation-class commands
\[
  A \setminus B = \{\, x \in A \mid x \notin B \,\}
\]
% \middle| grows with \left\{ ... \right\}; a bare \mid does not
\[
  \left\{\, x \in X \;\middle|\; \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \,\right\}
\]

\emptyset 与 \varnothing 的区别：空集是个丹麦字母

∅ 不是希腊字母 phi，也不是划了一道线的零。它是丹麦语和挪威语字母表中的字母 Ø，于 1939 年经由布尔巴基的《Éléments de mathématique》进入数学。安德烈·韦伊后来在回忆录中认领了这件事：他写道，这个符号来自挪威语字母表，而布尔巴基成员中只有他熟悉挪威语。知道了来历，用哪个 LaTeX 命令的争论就有了结论——因为这两个命令画的是同一个字母的两种理解。

\emptyset 是内核版本，\varnothing 来自 amssymb，两者形状并不相同。在 10pt 的 Computer Modern 下实测：\emptyset 宽 5.00pt、高 7.50pt，是一个瘦长的竖椭圆被一道线穿过；\varnothing 宽 7.78pt、高 5.82pt，是一个圆形被两端出头的斜线划过。后者更接近手写的 Ø，也更接近多数人听到“空集”时脑中浮现的样子。实务上的结论只有一条：载入 amssymb，全篇统一用 \varnothing，别让 \emptyset 中途溜回来。同一份文档里同一个集合出现两种形状，正是编辑会用红笔圈起来的那类事故。

\vdash、\models、\top、\bot：证明与 turnstile 记号

这四个都是 LaTeX 标准命令，而且谈的都是证明而不是集合。⊢（\vdash）是句法可导出性的 turnstile——Γ ⊢ φ 表示“φ 可从 Γ 导出”——⊨（\models）则是语义后承的双 turnstile，表示“Γ 的任何模型都使 φ 为真”。分清这两者是数理逻辑一半的课题，所以选错并不是排版细节。顺带一提，\models 也不是单个字符：fontmath.ltx 用一条竖线连上一条双横线，写成 \mathrel{|}\joinrel\Relbar 拼出来。⊣（\dashv）是 ⊢ 的镜像，在逻辑之外用来写伴随函子 F ⊣ G。⊤ 和 ⊥ 是真与假两个常元，也是格的最大元与最小元。

这里起作用的同样是类别。\vdash、\dashv、\models 是 \mathrel，两侧会自带间距；\top 和 \bot 是 \mathord，因为它们通常作为常元单独出现。于是想表达“L 垂直于 M”而写成 L \bot M，排出来就会挤在一起。这个位置该用 \perp，它是把同一个槽位 "3F 重新声明为关系符的结果。实测 L \bot M 为 25.38pt，L \perp M 为 30.93pt——相差的 5.56pt，仍旧是关系符在两侧各取的粗空白。\perp 同样在内核中，不需要宏包。

哪些命令需要 amssymb？（以及 ∴、∵ 该怎么用）

本页真正在 LaTeX 内核之外的，恰好是六个命令：\nexists、\varnothing、\subsetneq、\complement、\therefore、\because。六者都来自 amssymb；导言区若没有 \usepackage{amssymb}，每一个都会以 ! Undefined control sequence. 中断编译。第七个外来者是 \implies，它属于 amsmath 而非 amssymb。由于 amssymb 会自动载入 amsfonts，而带公式的文档一般也需要 amsmath，所以导言区两行就足以覆盖本页的全部内容。

\usepackage{amsmath}  % \implies, \impliedby, \iff with \DOTSB
\usepackage{amssymb}  % \nexists \varnothing \subsetneq \complement \therefore \because

% \therefore is a relation: it already carries space on both sides
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore x = \pm 2
\]

最后清理一个流传甚广的说法。常有人说 ∴ 和 ∵ 前后必须手工加空白，于是写成 \therefore\ 之类。并不需要。 amssymb 把两者都声明为 \mathrel，所以写下 x \therefore y 时两侧就已经带上了关系符的粗空白；再加一个 \ ，只会把空白加倍。真正值得留意的是该不该用：这两个记号属于黑板，多过属于印刷页面。在成稿的散文里，写成“因此”“因为”几乎总是更好读，∴ 最好留给真正挤不下的地方，比如公式内部。

• 空集统一用 \varnothing（amssymb），不要混入 \emptyset
• 包含用 \subseteq，真包含用 \subsetneq；避免有歧义的 \subset，或在开头声明其含义
• 集合差用 \setminus；\backslash 留给双陪集
• 内涵记法的竖线用 \mid，需要撑大时用 \middle|，不要用光秃秃的 |
• 逻辑式里用 \land、\lor、\lnot；外积与格用 \wedge、\vee
• 蕴含只选短的 \Rightarrow 或长的 \implies 之一，并贯彻到底