杂项符号

1655 年，牛津数学家约翰·沃利斯在一本讲圆锥曲线的书里写下了一个此前无人使用的横躺的 8——无穷大 ∞ 就此诞生。本页要讲的「杂项符号」，也就是 LaTeX 里的 \infty、\partial、\nabla、\ell、\hbar、\dagger 这一类既不属于希腊字母、也不属于运算符、关系符或箭头的记号，几乎都是这样来的：某个人发明了一次，它就留了下来。下面按来历和用途梳理那些真正要动手敲的符号，说明哪些是 LaTeX 标准自带、哪些需要 amssymb 宏包，以及如何避开 \ell 与字母 l、\prime 与撇号这类经典误用。

为什么在正文里写 \infty 会报 ! Missing $ inserted

因为本页的符号几乎都是只能用于数学模式的命令。直接在正文里敲 \infty，LaTeX 会报 ! Missing $ inserted，并试着替你补上 $。在 TeX 看来 ∞ 不是图形，而是一个归类为「普通符号（ordinary）」的原子；由这个类别推出的左右间距，在数学模式之外根本没有定义。所以要写成 $\infty$。例外是那些本来就为正文准备的记号：节号 \S（§）、段落号 \P（¶）、\copyright（©），以及剑标 \dag、\ddag，它们在文本模式下可以直接使用。

\usepackage{amssymb}   % needed for \varnothing, \square, \measuredangle, \circledR
% ...
The volume $V$ diverges to $\infty$, and the gradient is $\nabla f$.
\[
  \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad \angle ABC = 90^\circ, \qquad \hbar\omega
\]

另一条分界线是宏包规则。\infty、\partial、\nabla、\angle、\ell、\hbar、\Re、\Im、\wp、\aleph、\surd、\prime、\dagger、\ddagger、\forall、\exists、\neg、\top、\bot、\emptyset、\flat、\sharp、\natural 全部属于 LaTeX 标准，不需要任何额外宏包。相反，\varnothing（∅ 的圆形变体）、\square（□）、\measuredangle（∡）、\circledR（®）以及希伯来字母 \beth（ℶ）都是 AMS 追加的：导言区一旦漏掉 \usepackage{amssymb}，编译就会停在 ! Undefined control sequence。看到这条错误，先怀疑宏包，再怀疑拼写。

∞、∂、∇、∠ 是从哪里来的

这几个符号都是某位作者带进来、被下一代接手的。\infty（∞）最早出现在沃利斯 1655 年的《De sectionibus conicis》，他本人从未解释为何选了这个形状。\partial（∂）——那个圆润的 d ——1786 年由勒让德用于偏导数，他后来又弃之不用；1841 年雅可比重新起用，这才固定下来。最有意思的是 \nabla（∇）。给这个形状取名「nabla」的是百科全书编者 威廉·罗伯逊·史密斯，他在 1870 年写给彼得·格思里·泰特的信中说，这个倒过来的 delta 像一件腓尼基竖琴（希腊语 νάβλα）。泰特和麦克斯韦在私人通信里半开玩笑地一直这么叫，结果它就进了全世界的教科书。

实用上，这四个符号都容易与形近符号混用，而排版程序不会提醒你。\nabla（∇）与大写 delta \Delta（Δ）只差一个上下颠倒，把梯度写成 Δ 照样能顺利编译。\partial 一定要写成命令，不要用斜体 d 顶替，否则读者就分不清全微分与偏导数。\infty 单独出现的机会远少于它在下标里的用法——\lim_{n \to \infty}、\int_0^{\infty}——在那些位置它会自动缩小。\surd（√）只是根号的那一「勾」，横线不会伸长；真要排平方根，请用带参数的 \sqrt{x}。\angle（∠）属于标准，但测量角 \measuredangle（∡）和球面角 \sphericalangle（∢）需要 amssymb。

当字母升格为符号：ℓ、ℏ、ℜ、℘、ℵ

这些符号原本都是字母，通过换字体或加一笔，逐渐背上了独立的含义。\ell（ℓ）是手写体小写 l，用于长度、直线和数列下标。\hbar（ℏ）是加了一横的 h，表示约化普朗克常数 h/2π——多加一笔就成了另一个常数，这正是物理学惯用的命名方式。\wp（℘）是花体 p，代表魏尔斯特拉斯椭圆函数；\aleph（ℵ）是希伯来字母 aleph，表示无穷基数。\Re 与 \Im 给出复数的实部与虚部，输出的并非正体 R 和 I，而是 哥特体（Fraktur）的 ℜ 和 ℑ。以上全部属于 LaTeX 标准，无需 amssymb。

由此得出两条实用判断。其一，哥特体的 ℜ 与 ℑ 在现代版面上略显古旧，读者也确实会把它们误读成 R 和 I。若想把正体的「Re」「Im」当作算子来排，如今的定式是 amsmath 的 \operatorname{Re} 与 \operatorname{Im}，它们还会按算子取好前后间距。其二，\aleph 属于标准，但紧随 aleph 之后的希伯来字母 beth ℶ、gimel ℷ、daleth ℸ（\beth、\gimel、\daleth）需要 amssymb。集合论论文里敲出 ℶ 却撞上 ! Undefined control sequence，原因几乎总是这个。

量词、否定、⊤/⊥ 与空集

逻辑用的记号 \forall（∀）、\exists（∃）、\neg（¬，别名 \lnot）、\top（⊤）、\bot（⊥）全属 LaTeX 标准。∀ 是倒过来的 A（all），∃ 是反过来的 E（exists）——字形本身就说明了来历。有一处区别值得记住：\bot 与 \perp。二者字形都是 ⊥，但 \bot 注册为普通符号（ordinary），\perp 注册为关系符（relation），因此左右留白不同。表示「假」或「最小元」时写 \bot；表示「垂直」这一关系时写 AB \perp CD。同理，\top 用于「真」或「最大元」。只有否定的存在量词 \nexists（∄）需要 amssymb。

空集有两种写法。标准的 \emptyset 是加了斜线的椭圆，在 Computer Modern 里有时看着像被压扁的 0。amssymb 提供的 \varnothing 则是加斜线的正圆，正因为一眼就能看出「这不是零」，许多作者偏爱它。选哪一个都行，但 同一份文档里不要混用——评审一定会挑出来。若要用 \varnothing，别忘了 \usepackage{amssymb}，否则就是 ! Undefined control sequence。量词与集合运算的全貌，请见集合与逻辑符号页。

剑标 † ‡，以及为证明收尾的 ∎

剑标 \dagger（†）与双剑标 \ddagger（‡）都是 LaTeX 标准的数学模式符号。若要在正文里当脚注标记，可用文本模式的 \dag 与 \ddag。但在公式里，† 表示的不是脚注，而是伴随（厄米共轭）：A^{\dagger} 读作「A dagger」，量子力学里的产生算符 a^{\dagger} 也是同一个用法。因为它几乎总在上标位置，单独敲 \dagger 的场合极少。

证明末尾那个空心方块 ∎ 叫作「墓碑（tombstone）」或「哈尔莫斯符号」。箭头那一页顺带提到，是保罗·哈尔莫斯把它带进数学的；故事还有后半段。哈尔莫斯在回忆录《I Want to Be a Mathematician》里写道，这个符号根本不是他的发明——他是在与数学毫无关系的大众杂志上看到它被用来标示文章结束，于是借了过来。他在数学语境中首次使用它是 1950 年。用 LaTeX 排的话可以写 amssymb 的 \square（□）或 \blacksquare（■），但实务上用 amsthm 的 proof 环境就会自动补在末尾。想自己决定位置就用 \qedhere，想换掉符号本身则用 \renewcommand{\qedsymbol}{...}。

排出 ♭ ♯ ♮ ——\sharp 与 # 完全是两回事

三个变音记号——降号 \flat（♭）、升号 \sharp（♯）、还原号 \natural（♮）——都是 LaTeX 标准的数学符号。即使在正文里写音名，也要进入数学模式：B$\flat$ 或 $B\flat$。这里最容易出事的是 #。在 TeX 看来 # 是标记宏参数的特殊字符，直接写进正文会报错；要打印出来必须转义成 \#。而 \# 打印的是井号，不是音乐里的升号 ♯——两者是字形和倾斜都不同的字符。音名请写 $C\sharp$，编程语言请写 C\#。真正排乐谱是另一回事，那要用专门的排版系统。

三组易混——\ell 与 l、\prime 与 '、\Re 与 R

先看 \ell（ℓ）与数学斜体的 l。在许多数学字体里，斜体小写 l 几乎无法与数字 1 和竖线 | 区分，手写体 ℓ 正是为避免这一点而设。凡是希望读作「l」的量——长度、直线、下标——选 \ell 最稳妥。绝不能做的是 在同一份文档里用 \ell 和 l 表示两个不同的量：读者一定会弄混。二选一即可。同理，要给 i、j 加重音符号时，应以无点的 \imath（ı）、\jmath（ȷ）为底：\hat{i} 会让圆点与帽子重叠，所以写 \hat{\imath}。

再看 \prime（′）与撇号。在数学模式里 ' 是 ^{\prime} 的简写，因此 f' 与 f^{\prime} 输出完全相同。单独写 \prime 会把一个上标尺寸的字形放在基线上，很不好看，所以几乎不会单用。TeX 会把连续的撇号连同紧随其后的 ^ 一并处理，所以 x'^2 排得毫无问题。出问题的是次序颠倒：x^2' 被解释为 x^2^{\prime}，编译停在 ! Double superscript.。这时请把意图写清楚，例如 {x^2}' 或 x^{2\prime}。另外，正文里的 ' 是右单引号，不是撇号（prime）。

第三组是 \Re 与 R。\Re 排出的是哥特体 ℜ，与实数集 ℝ（amssymb／amsfonts 的 \mathbb{R}）完全是两个符号。「复数 z 的实部」写 \Re z 或 \operatorname{Re} z；「z 是实数」写 z \in \mathbb{R}。这两者一旦混用，读者会连着好几行会错意。\Im 与 \mathbb{I} 同理。

% x'^2 is fine; x^2' raises ! Double superscript.
\[ f'(x), \quad f''(x), \quad x'^2, \quad {x^2}' \]
% real part vs the set of real numbers
\[ \Re z, \qquad \operatorname{Re} z, \qquad z \in \mathbb{R} \]
% dotless bases keep the accent clear
\[ \hat{\imath}, \quad \hat{\jmath}, \quad \ell = 2\pi r \]

若遇到本页未收录的符号，最终答案是 Scott Pakin 的 The Comprehensive LaTeX Symbol List（ctan.org/pkg/comprehensive）。它把两万多个符号（TeX Live 2024 附带版为 20,323 个）连同产生它们的命令和宏包一并列出，「这个字形该怎么敲」的问题基本都能在这里了结。