Décorations au-dessus et au-dessous

En mathématiques, on empile toutes sortes d’éléments au-dessus et au-dessous des symboles : barres et accolades couvrant toute une expression, chapeaux et flèches qui s’étirent à la largeur de ce qu’ils recouvrent, petits accents qui restent de la taille d’une lettre. Ils se ressemblent, mais le fait qu’une marque *s’étire* ou non détermine laquelle choisir. Cette page les classe en trois groupes : (1) lignes et accolades au-dessus ou au-dessous d’une expression, (2) accents extensibles qui s’élargissent, et (3) accents de largeur fixe pour un symbole. Elle montre ensuite comment \overset / \underset d’amsmath placent un symbole arbitraire au-dessus ou au-dessous d’un autre.

Lignes et accolades sur une expression

Commençons par les commandes qui tracent une ligne horizontale ou une accolade sur tout l’argument. \overline{…} place une ligne au-dessus de son argument et \underline{…} en place une au-dessous ; les deux font partie de LaTeX standard, et la ligne s’étire à la largeur du contenu. \overline sert souvent à un complément ou à un conjugué complexe, et le trait de \underline est positionné pour éviter les jambages, comme ceux de y ou g.

\[
  \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}, \qquad
  \underline{x + y}
\]

Ici, le côté gauche trace une seule ligne sur tout a+b, tandis que le côté droit place une courte barre au-dessus de chaque lettre. Comme indiqué plus bas, pour une seule lettre \bar est parfois plus naturel que \overline. \underline{x+y} trace une ligne sous x+y, en évitant le jambage de y. Barres et soulignements font partie des rares décorations qui s’imbriquent proprement ; une double barre comme \overline{\overline{z}} se compose donc sans difficulté.

Pour les accolades, utilisez \overbrace{…} et \underbrace{…}. Elles font aussi partie de LaTeX standard, et l’accolade horizontale s’étire sur toute la largeur du contenu. Leur intérêt est qu’on peut leur attacher un libellé : comme l’accolade se comporte comme un script de l’expression, un exposant ^ place un libellé à l’extérieur de l’accolade supérieure, \overbrace{…}^{label}, et un indice _ en place un sous l’accolade inférieure, comme dans \underbrace{…}_{label}.

\[
  \underbrace{1 + 2 + \cdots + n}_{n \text{ 個の項}}
  = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Cela étire une accolade pleine largeur sous 1 + 2 + … + n, avec le libellé « n terms » centré en dessous. De même, \overbrace{x + x + \cdots + x}^{k} place une accolade au-dessus de la somme, avec le nombre de termes k au-dessus. Quand un libellé contient des mots ou du japonais, entourez-le de \text{…} d’amsmath, puisque vous êtes en mode mathématique.

Accents extensibles larges

Viennent ensuite les accents qui s’étirent à la largeur de leur argument. Les principaux sont \widehat{…} (grand chapeau) et \widetilde{…} (grand tilde). Alors que \hat{x} est un petit accent sur une seule lettre, \widehat{xyz} étend le chapeau sur tout xyz ; \widetilde fonctionne de même, en posant une grande vague sur toute l’expression. Les deux sont disponibles dans LaTeX standard.

Cette extensibilité a toutefois des limites. \widehat et \widetilde choisissent la taille la plus proche parmi quelques formes prédessinées ; sur une expression très longue, le chapeau peut ne pas s’élargir assez et paraître maladroit. Dans ce cas, envisagez \overline ou une forme de ligne/flèche comme \overrightarrow, décrite plus bas.

Il existe aussi des commandes qui posent une flèche au-dessus de l’argument. \overrightarrow{…} trace une flèche vers la droite et \overleftarrow{…} une flèche vers la gauche, toutes deux extensibles (LaTeX standard). La double flèche \overleftrightarrow{…} et les formes sous l’expression \underrightarrow / \underleftarrow / \underleftrightarrow exigent le paquet amsmath. Pour la notation vectorielle, ces flèches extensibles conviennent par exemple au segment orienté au-dessus de AB.

Le piège courant ici est \vec. \vec{a} est une petite flèche fixe, dimensionnée pour un seul symbole, et elle ne s’étire pas. Ainsi \vec{AB} place en pratique une petite flèche au-dessus de B, plutôt que sur A et B ensemble, et ne ressemble pas à un segment orienté. Pour faire courir une flèche de A à B sur toute l’expression, utilisez plutôt \overrightarrow{AB}.

\[
  \widehat{x + y} \neq \hat{x} + \hat{y}, \qquad
  \vec{a} \quad \text{vs.} \quad \overrightarrow{AB}
\]

Dans cet exemple, \widehat{x+y} à gauche pose un large chapeau sur tout x+y, tandis que \hat{x} place un petit chapeau sur la seule lettre x. À droite, la petite flèche fixe de \vec{a} est mise à côté de la flèche de \overrightarrow{AB}, qui s’étire sur toute la largeur de AB, afin de montrer le contraste.

Accents de largeur fixe pour un symbole

Le troisième groupe rassemble les accents de largeur fixe, placés surtout sur une seule lettre : \dot pour une dérivée, \ddot pour une dérivée seconde, \bar pour une moyenne ou un conjugué, \hat pour un estimateur, \tilde pour une approximation. Ces marques reviennent constamment en sciences et en ingénierie. Toutes relèvent de LaTeX standard ; appliquées à plusieurs lettres, elles ne s’étirent pas, mais restent centrées à la taille d’un seul symbole.

\[
  \dot{x}, \quad \ddot{x}, \quad \bar{x}, \quad \hat{p},
  \quad \tilde{a}, \quad \vec{v}, \quad \check{s}
\]

Ces commandes placent respectivement un et deux points sur x, une courte barre sur x, un petit chapeau sur p, un tilde sur a, une petite flèche vers la droite sur v et un háček en forme de v sur s. Mettre un accent sur i ou j entre en collision avec leur point ; la tradition est donc d’utiliser les formes sans point \imath / \jmath. Par exemple, \hat{\imath} place seulement le chapeau sur un i sans point.

Placer un symbole quelconque au-dessus ou au-dessous (\overset / \underset)

Les commandes précédentes plaçaient des ornements fixes : lignes, accolades, accents. Pour placer un symbole ou une expression quelconque en petit au-dessus ou au-dessous d’un autre symbole, utilisez \overset{above}{base} et \underset{below}{base} du paquet amsmath. \overset{a}{b} met a en petit au-dessus de b, et \underset{a}{b} met a en petit au-dessous de b. Le second argument est la base ; le premier est l’élément ajouté. Ce premier argument est composé en scriptstyle, la même taille que les exposants et indices, d’où son apparence naturellement réduite.

\[
  A \overset{f}{\longrightarrow} B, \qquad
  X \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} x, \qquad
  \overset{!}{=}
\]

Ici, \overset{f}{\longrightarrow} place le nom de l’application f en petit au-dessus de la flèche, et \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} ajoute la condition de limite dessous. \overset{!}{=} est la notation « égal par exigence », avec un point d’exclamation au-dessus du signe égal. Contrairement aux accents fixes de la section précédente, ces commandes permettent de choisir librement ce qui va au-dessus ou au-dessous.

Pour ajouter du contenu à la fois au-dessus et au-dessous, imbriquez les commandes : \overset{a}{\underset{b}{X}}. Notez la différence avec les scripts : ^ et _ se placent sur le côté droit d’un symbole, tandis que \overset / \underset placent le contenu directement au-dessus et au-dessous. Les opérateurs qui prennent déjà des limites en haut et en bas, comme les sommes et \lim, ont leur propre mécanisme, traité sur une autre page.

Bien choisir, et pièges courants

Pour finir, les points qui prêtent à confusion. D’abord, la différence entre \bar et \overline. \bar{x} est un accent de largeur fixe de la taille d’une lettre, tandis que \overline{x} est un trait qui s’étire à la largeur de son contenu. La référence LaTeX2e indique explicitement que \overline diffère de la commande d’accent \bar. Utilisez \bar{x} pour la moyenne d’un seul symbole, et \overline{x+y} pour une barre couvrant plusieurs termes.

Deuxièmement, ne confondez pas \hat (fixe) et \widehat (extensible). Pour un seul symbole comme l’estimateur \hat{\beta}, utilisez \hat ; pour couvrir toute une expression comme \widehat{f(x)}, utilisez \widehat. Les paires \tilde / \widetilde et \vec / \overrightarrow suivent la même opposition fixe/extensible.

Troisièmement, les doubles accents ne s’empilent pas proprement. Superposer deux accents, comme dans \hat{\vec{x}}, laisse souvent la marque supérieure flotter, trop haut ou mal centrée. Les seules marques qui s’imbriquent vraiment confortablement sont à peu près \overline et \underline. Si vous voulez seulement plus de points, utilisez \ddot ou \dddot / \ddddot d’amsmath ; pour de vraies superpositions, construisez-les explicitement avec \overset ou utilisez un paquet spécialisé.

• Petit, sur une lettre → un accent fixe (\hat, \bar, \dot, \vec, …).
• Couvrir toute une expression → une forme extensible (\widehat, \widetilde, \overline, \overrightarrow).
• Marquer une plage avec une accolade → \overbrace{…}^{…} / \underbrace{…}_{…}.
• Tout symbole au-dessus ou au-dessous → \overset{…}{…} / \underset{…}{…} d’amsmath.
• Accentuer i ou j → partir de \imath / \jmath sans point.