集合・論理記号

集合論と論理で使う記号——∀・∃ といった量化記号、∧・∨・¬ の論理結合子、∈・⊂・∪ などの集合記号、そして証明で使う ⊢・⊨ や ∴・∵——は、いずれも数式モードのなかで \forall・\in・\cup のような命令として入力します。勘どころは三つ。多くは LaTeX 標準で使えること、\land／\lor は \wedge／\vee の別名だということ、そして \nexists・\complement・\therefore など一部は amssymb パッケージが要ること。このページは入力の考え方を整理したうえで、量化・論理／集合／証明（ターンスタイル）／推論記号に分けて引きやすい一覧表にまとめ、\varnothing と \emptyset のような紛らわしい選択にも触れます。

記号の入れ方とパッケージ

これらの記号は 数式モードのなか で使います。本文（テキストモード）にそのまま \forall と書いてもエラーになるので、$\forall x$ のように数式モードに入れてから書きます。命令名は意味の英語綴りに対応し、\forall（すべての）、\exists（存在する）、\in（元）、\subset（部分集合）、\cup（和集合）のようになります。

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

ここで \forall・\exists・\in・\cup・\subseteq・\Rightarrow は LaTeX 標準 で、追加パッケージは要りません。一方 \implies・\iff は amsmath、後出の \nexists・\varnothing・\complement・\therefore・\because は amssymb が必要です。実用上は、プリアンブルに amsmath と amssymb をまとめて読み込んでおけば、このページの記号はすべて使えます。

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

本ページの表では、amssymb が必要なものに「(ams)」と明記します。注記のない命令は LaTeX 標準だと考えてください。なお記号には 種別 があり、\in や \subset は関係子（前後がやや広い）、\cup・\cap・\land・\lor は 2 項演算子（左右対称の間隔）、\forall・\neg・\top などは通常記号として組まれます。この違いが自動で付く間隔に効いてきます。

量化記号と論理結合子

まず述語論理の骨格をなす記号です。全称 ∀（\forall）と存在 ∃（\exists）、その否定として「存在しない」∄（\nexists、ams）。論理結合子は、否定 ¬、連言 ∧、選言 ∨、含意 ⇒、同値 ⇔ の五つが基本です。含意と同値には二系統の出し方があり、\Rightarrow／\Leftrightarrow は短い二重線矢印、\implies／\iff（ams­math）はその前後に広めの間隔を入れた長い矢印で、地の文に近い推論の流れを書くときに読みやすくなります。

注意点をいくつか。**\neg と \lnot は完全に同じ** で、\land／\lor も \wedge／\vee の別名にすぎません（amssymb は不要）。\land・\lor の名前は読み手に意図が伝わりやすく論理式向き、\wedge・\vee は外積や束（lattice）の演算など意味が「論理」でない文脈で好まれます——出力は同一なので好みと文脈で選びます。\implies／\iff は実体としては \Longrightarrow／\Longleftrightarrow の前後に太いスペース（\; 相当）を入れたもので、\iff は LaTeX 標準のものを amsmath が再定義して間隔を改善しています。短い \Rightarrow と長い \implies は文書内で使い分けを一貫させましょう。

集合記号

集合まわりの記号です。空集合は二つの字形があり、標準の \emptyset（∅）と、amssymb が提供する \varnothing（∅）です。後者は斜めの線が貫く整った字形で、\emptyset の縦長な見た目を嫌って **\varnothing を好む人が多い** ので、見出しでもこちらを推奨形として挙げます。所属は ∈（\in）と、その否定 ∉（\notin）、左右を反転した ∋（\ni、「〜を要素にもつ」）。包含は真部分集合 ⊂ と等号つき ⊆、その逆向きの ⊃・⊇。集合演算は和 ∪、積 ∩、差 ∖（\setminus）、補集合 ∁（\complement、ams）です。

使い分けの指針。空集合は **\varnothing（amssymb）を既定にし、文書内で統一** するのがおすすめです。\subset を「真部分集合」と「等号を含む部分集合」のどちらの意味で使うかは分野で割れるため、曖昧さを避けたいときは ⊆（\subseteq）や、真部分集合専用の ⊊（\subsetneq、amssymb）を明示します。差集合は \setminus（∖）で、割り算の / とは別物です。補集合は \complement を上付きにして A^\complement と書くか、\overline{A}（バー）や A^c で表すこともあります。

証明・ターンスタイル記号

論理学・証明論で「導出可能」「充足する」を表す記号です。⊢（\vdash）は構文的な証明可能性（「Γ ⊢ φ：Γ から φ が証明できる」）を表すターンスタイル、⊨（\models）は意味論的な帰結（「Γ ⊨ φ：Γ は φ を含意する／充足する」）を表す二重ターンスタイル。⊣（\dashv）は ⊢ を左右反転した記号で、随伴函手の表記などにも使われます。⊤（\top）は恒真・最大元、⊥（\bot）は恒偽・最小元（束や順序集合の頂・底）を表し、\bot は垂直・直交の記号としても流用されます。

これらは すべて LaTeX 標準 で、追加パッケージは要りません。\vdash と \models は関係子なので前後に適度な空きが入り、Γ \vdash φ のように両辺を取る形で自然に組まれます。なお ⊤・⊥ は通常記号として扱われるため、二項関係のように使うと間隔が詰まって見えることがあります。

推論を示すマーク（∴・∵）

最後に、論証の流れを示す二つの記号です。∴（\therefore、「ゆえに」）は結論を、∵（\because、「なぜならば」）は理由を導きます。どちらも **amssymb が必要** で、プリアンブルに \usepackage{amssymb} がないと未定義エラーになります。

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

これらは通常記号として組まれるため、前後の空きは自動では十分に入りません。上の例のように \therefore\ と **明示的な空白（\ や \quad）** を補うと読みやすくなります。なお手書きの板書では多用されますが、清書された数学の文章では「ゆえに」「すなわち」といった語で書くほうが好まれることも多く、∴・∵ は使いどころを選ぶ記号です。