分式、根式与指数

分数、根号和二项系数，是数学模式中“超出字母高度并向纵向伸展”的典型排版元素。基本命令 \frac 会根据所在位置（正文中还是另起一行）自动改变大小。不过它常常无法得到预期外观，这时 amsmath 包的 \dfrac、\tfrac、\cfrac，二项系数的 \binom 系列，以及斜线分数 \nicefrac / \sfrac 就会派上用场。本页将依次整理它们各自输出什么、需要哪个包，以及何时该选择哪一个。

基本分数 \frac

排版分数的基本命令是 \frac{分子}{分母}。这是 LaTeX 本体（core LaTeX）的功能，不加载 amsmath 也能使用。第一个参数是分子，第二个参数是分母，LaTeX 会在两者之间画一条横线（分数线），把分子排在上方、分母排在下方。例如 \frac{1}{2} 会得到二分之一：横线之上是 1，之下是 2。

\frac 的一个重要特性是，它的大小会根据前后文（样式）自动改变。嵌入正文的行内公式（文本样式）中，分子和分母会小而紧凑地排版，以免明显改变行高。把同一个式子放到 \[ … \] 等另起一行（陈列样式）中，则会以更宽松的大尺寸排版。下面的例子展示完全相同的 \frac{a+b}{c} 在行内和陈列中如何变化。

本文中では小さく組まれる: $\frac{a+b}{c}$ のように。

\[
  \frac{a+b}{c}
\]

前者会输出为能容纳在一行中的较小分数，后者则会输出为居中放在独立一行上的大分数。分数也可以 嵌套：在分子或分母中再写 \frac，就能得到多层分数。不过，嵌套在内层的分数会用比外层更小的样式排版，因此层数越深越难阅读。

\[
  \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}
\]

这个例子会排出一个两层分数，分母中还包含一个分数 \frac{1}{x}。请注意，内层的 \frac{1}{x} 会比外层小一级。如果在较深的嵌套中想让每一层保持相同大小，请使用下一节的 \dfrac，或连分数专用命令 \cfrac。

固定大小：\dfrac 与 \tfrac

\frac 的自动大小有时并不方便。例如，你可能想让正文中的分数不要被压小，而是显示为与陈列公式相同的大小；反过来，也可能想让陈列公式中的某个分数保持小巧。满足这种“想固定样式”需求的，是 amsmath 包 提供的 \dfrac 和 \tfrac（两者都需要 \usepackage{amsmath}）。

根据 amsmath 用户指南，\dfrac 是 {\displaystyle\frac ... } 的便捷缩写，\tfrac 是 {\textstyle\frac ... } 的便捷缩写。因此 \dfrac{…}{…} 无论放在哪里都总是陈列大小（大分数），而 \tfrac{…}{…} 总是文本大小（小分数）。它们的参数方式与 \frac 完全相同：第一个参数是分子，第二个参数是分母。

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
本文中でもフルサイズの分数: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$。

\[
  \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
\]

行内的 \dfrac{\partial f}{\partial x} 即使位于正文行中，也会作为与陈列公式同样大小的偏导数分数排版（相应地会撑高行高）。在陈列公式例子中，由于嵌套使用 \dfrac，外层和内层分数会保持相同大小，比嵌套 \frac（内层会缩小）更容易阅读。选择时的大致标准如下。

• \frac：通常的选择；希望大小自然地交给上下文决定时使用。
• \dfrac：希望正文中的分数不要压小而是全尺寸显示，或希望嵌套的每一层保持相同大小时使用。
• \tfrac：希望陈列公式中的某个分数小而紧凑时使用（例如想让它接近指数或下标的处理方式）。

连分数 \cfrac

如果用嵌套 \frac 来排版 连分数（分母里又接着一个分数，如此反复），层数越深字就越小，最终会挤到难以阅读。amsmath 包 的 \cfrac{分子}{分母} 是专为此用途设计的命令。它会把各层 统一以陈列大小 纵向堆叠，无论嵌套多深大小都不变。连分数请务必使用它。

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}
\]

这会把 1 +（分数 …）这样的连分数排成每一层 \cfrac 都以相同大小纵向堆叠的形式。末尾的 \cdots 是居中的三点省略号（…），表示“以下同理”。这与用 \frac 写同样内容时内层逐渐变小形成鲜明对比。

\cfrac 命令接受一个 可选的对齐参数。按照 amsmath 用户指南的说法，分子左对齐或右对齐可以通过使用 \cfrac[l] 或 \cfrac[r] 而不是 \cfrac 来指定。[l] 让分子左对齐，[r] 让分子右对齐；什么都不加时则为 居中（默认）。由于连分数中分母宽度会随层级变化，当你想让分子的水平位置对齐时，这个参数很有用。

\[
  \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2}}}
\]

在这个例子中，各层的分子 1 都会与各自分数线的左端对齐（默认情况下会居中）。

二项系数 \binom

二项系数（组合数）“从 n 个中选 k 个”写作一个没有横线的纵向堆叠，并用圆括号包住。amsmath 包 的 \binom{n}{k} 会输出这种形式：上面是 n，下面是 k，中间没有分数线，整体由大小合适的圆括号 ( ) 包围。与 \frac 不同，不会画分数横线。

就像 \frac 有 \dfrac / \tfrac 一样，\binom 也有固定大小的同类命令。\dbinom{n}{k} 总是陈列大小，\tbinom{n}{k} 总是文本大小。两者都需要 amsmath。

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]

这是一个等式：左边是用大圆括号包住、n 在上 k 在下的二项系数，右边是使用阶乘的分数（n! 除以 k!(n−k)!）。右边的 \, 是细空格命令，用来在阶乘项之间插入一点空隙。

旧文献或 plain TeX 风格中，有时会把二项系数写成 {n \choose k}。这是使用 TeX 的广义分数原语的写法，但如今 标准做法是使用 amsmath 的 \binom。同一类的 \over、\atop、\above（带横线/不带横线/指定线粗的广义分数）在加载 amsmath 后也会发出警告，指南建议改用 \frac 或 \genfrac。\genfrac{左定界符}{右定界符}{线粗}{样式}{分子}{分母} 是 amsmath 中用于统一控制这些分数和二项系数外观的通用命令；\frac、\binom、\cfrac 等都建立在这一机制之上。第四个参数“样式”是整数 0–3，分别选择 \displaystyle、\textstyle、\scriptstyle、\scriptscriptstyle（留空则跟随上下文）。例如 \binom 内部定义为 \genfrac{(}{)}{0pt}{}{…}{…}，通过把第三个参数，也就是线粗，固定为 0pt 来实现“不画横线”的外观。

根号 \sqrt 与 n 次根

平方根（根号）用 \sqrt{内容} 排版。这是 LaTeX 本体的功能，不需要 amsmath。它会输出根号符号（√），并从右上方伸出横线（vinculum）覆盖整个内容。根号和横线会根据内容的高度和宽度自动调整大小，因此 \sqrt{x} 与 \sqrt{x^2 + y^2} 都会按各自内容排成恰当大小。

n 次根（如立方根）写作 \sqrt[n]{内容}，把指数作为方括号中的 可选参数 给出。小的指数 n 会放在根号符号的左上方。例如立方根写成 \sqrt[3]{x+y}：根号左上方有一个小 3，横线下方是 x+y。

\[
  \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sqrt[3]{x+y}, \qquad \sqrt[n]{a}.
\]

输出结果是三个由 \qquad（宽空白）分隔的根式：根号下含 x²+y² 的平方根、左上角带 3 的立方根，以及左上角带 n 的 n 次根。如果需要微调 n 次根指数的位置或大小，amsmath 还提供 \sqrt[\leftroot{…}\uproot{…}n]{…} 形式的调整命令，但普通用途下默认位置已经足够。

指数（幂）的排版

指数（幂）作为上标，用插入符 ^ 排版。x^2 表示“x 的平方”，会在 x 的右上方放一个小 2。这是 LaTeX 本体功能，不需要任何包。当指数超过一个字符时，务必用波括号分组：x^{10} 会正确得到“x 的 10 次方”，而 x^10 会被意外排成“x 的 1 次方”后面跟着一个单独的 0。

指数、分数和根号经常组合使用，把到目前为止的命令放在一个公式中会像下面这样。用波括号明确作用范围，是正确排版的关键。

\[
  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

这是二次方程的求根公式。它会作为居中另起一行的大分数排版，分子是“−b ± √(b²−4ac)”，分母是“2a”。根号中的 b^2 是上标平方，\pm 是“±”（正负号）符号。关于如何在同一个字母上同时加上标和下标（如 x^2_i），以及字距微调的细节，请参见单独页面“上下标与间距”。

斜线分数：\nicefrac 与 \sfrac

在正文中，有时希望把“二分之一”不是排成上下结构，而是像 a/b 一样小而倾斜地放在行内（例如单位中的“1/2”）。这可以使用 nicefrac 包 的 \nicefrac{a}{b}。它会让分子和分母围绕斜杠斜向错开排列，并在不破坏行高的情况下放入一行。这个命令默认不可用，需要在导言区写 \usepackage{nicefrac}。

更新且推荐的替代方案是 xfrac 包 的 \sfrac{a}{b}。CTAN 上 nicefrac 自己的说明也指出，nicefrac 的功能由 xfrac 包以更完善的形式提供。\sfrac 可在文本模式和数学模式中使用，并且会更细致地根据字体调整外观。新文档中使用 \usepackage{xfrac} 和 \sfrac 更稳妥。

% nicefrac の場合: \usepackage{nicefrac}
所要時間は約 \nicefrac{3}{4} 時間です。

% xfrac の場合（推奨）: \usepackage{xfrac}
およそ $\sfrac{1}{2}$ に相当します。

两种情况下，3/4 和 1/2 都会排成小的斜线分数，并能容纳在正文行高内。一个实用的分工是：想纵向较大排版的分数用 \frac 或 \dfrac，想在行内小而倾斜显示的分数用 \sfrac（或 \nicefrac）。