矩阵与数组

矩阵、向量以及任何按网格排布的数学内容，可以用 amsmath 包的矩阵环境（pmatrix 等）来排，也可以用更通用的 array 环境。二者写法相近：元素用 & 横向分隔，用 \\ 换到下一行；区别在于是否自动加定界符，以及能否自由控制列对齐。本页依次介绍矩阵环境家族及其适用场景、可自行指定列对齐和竖线的 array、增广矩阵的写法，以及矩阵中表示“依此类推”的点号 \cdots、\vdots、\ddots。

amsmath 的矩阵环境

排矩阵最简单的方法，是使用 amsmath 包提供的一组矩阵环境；在导言区写上 \usepackage{amsmath} 即可使用。它们都在数学模式中使用，元素在同一行内用 &（ampersand）分隔，行末用 \\（两个反斜杠）换行。不同环境之间唯一的区别，是包围矩阵的定界符；内部内容的写法完全相同。

这些名称有固定规律。开头字母表示定界符：p 是 parentheses（圆括号），b 是 brackets（方括号），v 是 vertical bar（竖线）。以大写开头的 Bmatrix 和 Vmatrix 分别对应“更强”的花括号和双竖线。普通的 matrix 不添加任何定界符。

下面的例子用 pmatrix、bmatrix 和 vmatrix 排同一个 2×2 内容。\\ 前后的空格和换行不会影响输出，因此源码可以按易读的方式排版。

\[
  \begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{pmatrix}
  \quad
  \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix}
  \quad
  \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{vmatrix}
\]

输出结果是在单独一行居中放置三个 2×2 矩阵，并用 \quad 拉开间距：第一个用圆括号包围，第二个用方括号，第三个左右为竖线，表示行列式。元素居中对齐，a、b、c、d 作为变量以斜体排出。

注意，矩阵环境中的元素始终居中；不能要求列右对齐或左对齐。需要自行选择对齐方式时，可以使用后文的 array 环境，或使用 mathtools 包提供的星号版本（pmatrix*、bmatrix* 等）。星号版本接受 [r]、[c]、[l] 可选参数，使所有列按该方向对齐，例如 \begin{pmatrix*}[r] … \end{pmatrix*}。

列数上限（MaxMatrixCols）

amsmath 的矩阵环境默认最多只能排 10 列。这是因为名为 MaxMatrixCols 的计数器初值设为 10。如果尝试排 11 列或更多列的矩阵，就会得到列数过多的错误。

需要更多列时，用 \setcounter{MaxMatrixCols}{n} 提高这个上限。例如要允许最多 20 列，可以如下书写。更大的值会让 LaTeX 做更多处理，但在现代 TeX 环境中，20 左右通常几乎没有实际影响。若要恢复原状，把值重新设为 10 即可。

\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\[
  \begin{pmatrix}
    a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{12}
  \end{pmatrix}
\]

这个上限只影响 amsmath 的矩阵环境，不适用于下面要讲的 array 环境；在 array 中，只要在列说明里写出所需数量的列即可。

array 环境

array 环境是一种通用网格，可以自行指定对齐方式和线条。它是正文表格环境 tabular 的数学模式版本，只能在数学模式中使用（放在 \[ \] 或 equation 环境内）。元素和 tabular 一样用 & 与 \\ 分隔，但每个元素都会作为数学内容（以文本样式）排出。

array 有一个必需参数，称为列说明。像 {ccc} 这样，每一列写一个表示对齐方式的字母：l 表示左对齐，c 表示居中，r 表示右对齐。在字母之间放入 |，就会在该位置画出竖线。因此 {l|c|r} 表示三列：左对齐、竖线、居中、竖线、右对齐。

array 本身不会添加定界符。若要把它作为矩阵用括号包围，需要手动写成 \left( … \right)（或 \left[ … \right] 等）。\left 与 \right 会根据内容高度自动伸缩定界符，因此即使矩阵有很多行，括号也能整齐覆盖整块内容。这相当于把 amsmath 矩阵环境在内部自动完成的事手动写出来。

\[
  \left(\begin{array}{rrr}
    1 & -2 & 3 \\
    0 & 5 & -1 \\
    4 & 0 & 2
  \end{array}\right)
\]

这个例子输出一个用圆括号包围的 3×3 矩阵。由于列说明是 {rrr}，各列都右对齐，因此 -2、-1 这样的负数也能在右侧对齐，读起来更整齐。重点在于，pmatrix 总是居中，而 array 可以选择对齐方式。

增广矩阵（带竖线）

像表示线性方程组的增广矩阵那样，有时需要在矩阵中间加入竖线。amsmath 的 bmatrix 等环境不接受列说明，因此无法画出竖线；但 array 列说明中的 | 可以做到。在系数列和常数列之间放入 | 的列说明（例如 {cc|c}），再用 \left[ … \right] 包住整体即可。

\[
  \left[\begin{array}{cc|c}
    1 & 2 & 5 \\
    3 & 4 & 6
  \end{array}\right]
\]

这会输出一个用方括号包围的两行增广矩阵，在第 2 列和第 3 列之间画出一条竖线。左侧的 1 2 / 3 4 是系数矩阵，竖线右侧的 5 / 6 是常数列。由于 \left[ 和 \right] 会按内容高度伸展方括号，即使增加行数也不会破坏外观。

若要用圆括号做同样的事，只需改成 \left( … \right)；若要用花括号，则改成 \left\{ … \right\}。（mathtools 包也提供了更简洁书写这类增广矩阵的方法。）

矩阵中的点号（…、⋮、⋱）

写一般的 n×n 矩阵时，表示“依此类推”的省略点不可缺少。LaTeX 提供四种方向不同的点号，需要根据它们在矩阵中的位置来选择。它们都是数学模式命令。

• \cdots — 位于中线高度的横向三点（⋯），用于省略同一行中的若干元素。它们与 +、= 处在相近高度，适合横向连续内容。
• \vdots — 竖向三点（⋮），用于省略列方向的内容。
• \ddots — 向右下延伸的对角三点（⋱），用于省略主对角线方向的内容。
• \ldots（以及会随上下文选择的 \dots）— 位于基线上的横向三点（…），用于数字或下标序列。矩阵中通常 \cdots 更好看。

标准用法是把 \cdots 作为横向省略、\vdots 作为纵向省略、\ddots 作为对角线省略，分别当作矩阵元素来放置。下面是用 pmatrix 写一般 n×n 矩阵的典型例子。

\[
  A =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
  \end{pmatrix}
\]

这会输出一个用圆括号包围的 m×n 矩阵。在第一行、第二行和最后一行中，第 3 列的 \cdots 用中线高度的横向点填补 a_{12} 与 a_{1n} 之间的间隔；第三行中，各列的 \vdots 是竖向点，对角位置的 \ddots 是向右下的斜向点，共同表示“行和列都按同样方式继续”。a_{11} 这样的下标通过 _ 排成下标。

如果想用点线填满整行，可以使用 amsmath 的 \hdotsfor{n}，它会用一排横向点跨过指定的 n 列。

正文中的小矩阵（smallmatrix）

把 pmatrix 等放进行内公式（正文中的 $ … $）会大幅撑高该行，打乱前后行距。若要在正文流中嵌入一个小矩阵，使用 amsmath 的 smallmatrix 环境。它会把元素排得小而紧凑，几乎不破坏行高。

smallmatrix 本身不加定界符，因此需要括号时要手动包住，例如 \bigl( … \bigr)。（也可以用 \left( \right)，但在行内公式中，固定尺寸的 \bigl、\bigr 往往更不容易扰乱行距。）

回転行列 $\bigl(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\bigr)$ を考える。

这会在正文的一行中放入一个用圆括号包围的小型 2×2 旋转矩阵，几乎不扰乱行高。\cos 和 \sin 会作为正体函数名排出。