定界符 (\left \right)

\sin\left(x\right) 和 \sin(x) 看上去是同一个公式，宽度却不同。用 TeX Live 2024 的 pdfLaTeX 测量，前者是 27.4375 pt，后者是 25.77087 pt。相差的 1.66663 pt 来自这样一件事：LaTeX 把 \left 与 \right 之间的内容当作 Inner（内层）原子，而 Inner 原子前面要加 3 mu 的细空。LaTeX 的定界符有两个系列——自动的 \left \right，以及手动挑选的四级 \big \Big \bigg \Bigg——人人都会遇到的两件烦心事，“括号太大”和“\left\right 里不能换行”，根子都在于你选了哪一个系列。本页用测量数据来定这个选择。

\left … \right 是怎样决定大小的

它并不是精确拉伸到内容的高度，而是 从字体预备的几档括号中，挑出跨过门槛的最小一档。门槛由两个参数决定，在 TeX Live 2024 的 LaTeX 中，\delimiterfactor 为 901，\delimitershortfall 为 5 pt：括号至少要覆盖所需高度的 90.1 %，或者比所需高度矮不超过 5 pt——两者取较宽松的一个。\left 或 \right 后面紧跟的字符才是真正的定界符：圆括号用 ( )，方括号用 [ ]，花括号用 \{ \}，尖括号用 \langle \rangle。

\[
  \left( \frac{a^2 + b^2}{c^2} \right)
  \qquad
  \left[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right]
  \qquad
  \left( a, b \right]
\]

这个门槛就是“括号太大”的真相。在 10 pt 的 article 中，把被包围材料的高度一点点抬高：到 9 pt 为止，12 pt 的括号（与 \big 同一档）就够用；一旦到了 10 pt，选择就 直接跳到 18 pt 的括号，也就是 \Big 那一档；抬到 12 pt 仍然是同一个 18 pt。因为档位是离散的，内容只高了一点点，括号看上去就大了一整级。还有一点自由度：配对的定界符 不必是同一种。像 \left( a, b \right] 这样的半开区间就是这么写的。

\left…\right 与 \bigl…\bigr 的区别：间距会变

风格指南说“固定大小时优先用 \bigl…\bigr 而非 \left…\right”，这不是口味问题，而是存在 可测量的差异。TeX 给公式中的每个元素分配一个「原子（atom）」类别，并按类别的组合决定前后间距。\left … \right 的结果是 Inner，\bigl 给出 Open（开），\bigr 给出 Close（闭），而裸的 \big 给出 Ord（普通符号）。函数名如 \sin 是 Op（算子）；Op 后面接 Open 完全不加空白，接 Ord 或 Inner 则加 3 mu 的细空——这正是开头那 1.66663 pt。

表格的最后一行说明了为什么不该嫌 \bigl／\bigr 麻烦。裸的 \big( 是 Ord，因此比 \bigl( 宽 1.66663 pt——正好一个细空。打开 latex.ltx，这个区分各占朴素的一行：\bigl 是 \mathopen\big，\bigr 是 \mathclose\big，而 \bigm 是 \mathrel\big。字母分别取自 left、right、middle，所以 \bigm 造出的不是括号，而是与括号同样大小的关系符。集合描述法中的竖线 \bigm| 就是典型用法，实测两侧各加 5 mu 的粗空，合计 5.55542 pt。

\[
  \sin\bigl( x \bigr)          % Open/Close: no stray space
  \qquad
  \biggl\{\, x \bigm| x > 0 \,\biggr\}
  \qquad
  \bigl( \Bigl[ \,\cdots\, \Bigr] \bigr)
\]

\big \Big \bigg \Bigg 的实际尺寸——以及 12 pt 文档里 \big 为何没效果

这四个大小是 以绝对长度写死的。fontmath.ltx 里的定义各占一行，都是用 \left … \right 包住一个不可见的盒子：\big 是 8.5 pt，\Big 是 11.5 pt，\bigg 是 14.5 pt，\Bigg 是 17.5 pt。单位是 pt 而不是 em，所以 改变正文字号并不会改变所要求的高度。于是在 10 pt 的 article 中，( 是 10 pt、\big( 是 12 pt，差别看得见；可一旦加上 12pt 类选项，普通的 ( 本身就已经是 12 pt 高，此时 \big( 量得高 9.0 pt、深 3.0 pt——与素的 ( 完全一致。这就是“我写了 \big 却什么也没变”的答案：12 pt 文档请从 \Big 起步。

每一档的深都比高小 5 pt，是因为定界符相对于 公式的轴线（axis） 上下对称摆放。在标准的 10 pt 数学字体中，轴线在基线上方 2.5 pt，所以 12 pt 的括号就分成上 8.5 pt、下 3.5 pt。手动选择大小的实务理由有三：要让多行的高度一致（\left … \right 逐行测量内容，一叠公式的括号高度会参差不齐）、不希望被推到大一号，以及 想自己决定两侧的空白。反过来，对于高度难以预料的一次性公式，\left … \right 更快也更保险。

\left\right 里不能换行——会发生什么，又该怎么绕开

\left … \right 会形成一个组，所以在其内部写 \\ 会让编译停下。在 align 环境里试一下，TeX Live 2024 的 pdfLaTeX 会说：! Extra }, or forgotten \right.，接着是 ! Missing \right. inserted.。前一句的意思是「\right 还没来，行就结束了」，后一句是「于是替你补上了一个 \right.」。有两种绕开的办法，两种都已实测可以编译通过。

\begin{align}
  % 1. fixed manual sizes: close and reopen, same size on both lines
  a &= \biggl( b + c \notag\\
    &\qquad + d \biggr)\\
  % 2. null delimiters: end each fragment with \right. and reopen with \left.
  e &= \left( f + g \right. \notag\\
    &\qquad \left. + h \right)
\end{align}

第一种用手动大小固定括号，并在行末与行首各自完成闭与开；两行的括号处于同一档，看上去也就整齐。第二种用下一节的不可见定界符：每个片段以 \right. 收尾，再用 \left. 重新开启。这样仍是自动大小，但 由于每行各自测量，左右括号的高度可能不一致。当长公式要跨越分数或求和换行时，第一种固定手动大小更实用。分数与矩阵本身如何换行，留给各自的专页。

! Missing \right. inserted. 与 ! Extra \right.

这两条报告的是配对被破坏，并且分别说明 缺的是哪一侧。写了 \left 却没写 \right 就结束公式，会得到 ! Missing \right. inserted.——这是 LaTeX 补了一个 \right. 想继续走下去的信号。反过来，只出现 \right) 而没有 \left，则是 ! Extra \right.。前一种情形还会连带引出 ! LaTeX Error: Bad math environment delimiter. 和 ! Missing $ inserted.，所以最快的办法是 回到最上面那条错误，数一数 \left 的个数。

只在一侧显示括号：\left. 与 \right.

在 \left 或 \right 后面紧跟一个 句点 .，那一侧就什么也不画。. 被当作「不绘制任何东西的定界符」（null delimiter）：它满足成对规则，然后隐去身形。最常见的用途是 求值竖线：\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} 让左侧留空，只把右侧的竖线拉伸到内容高度，并在右下角写上条件。定积分的 \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} 也是同一形状。若用手动大小，甚至连配对的 \left 都不需要：f(x) \bigr|_{0}^{1} 可以独立成立。反过来，若完全不想显示定界符却仍要这个组，就把两侧都写成 .——\left. … \right.。

\[
  \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0}
  \qquad
  \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1}
  \qquad
  f(x) \bigr|_{0}^{1}   % fixed size, no \left needed
\]

\middle：插入与括号同高的分隔线

在 \left 与 \right 之间写 \middle 再接一个定界符，可以插入任意多条 与外层同高的分隔线。集合描述法 \left\{ x \;\middle|\; \dots \right\} 就是典型例子。这个命令并不在高德纳最初的 TeX 里，而是 e-TeX 添加的扩展（TeX Live 2024 的 pdfLaTeX 报告 \eTeXversion 为 2）。而且 e-TeX 手册明确写道，\right 会「向当前列表追加一个 Inner atom」。本页开头那 3 mu，正是这句话的直接后果。

\[
  \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x^2 < \frac{1}{2} \,\right\}
  \qquad
  \biggl\{\, x \bigm| x^2 < 1 \,\biggr\}
\]

这里有个陷阱。按 e-TeX 手册，\middle 右侧的材料是「按左定界符之后」来排的——也就是说，\middle| 表现为一个开定界符，两侧完全不加空白。实测也吻合：\left(a\middle| -b\right) 为 27.91093 pt，与 \left(a\mathopen{|} -b\right) 完全相同，比 \mathord 版窄 4.44434 pt。所以竖线两侧要自己留空：写成 \;\middle|\;，或用 \mathrel{}\middle|\mathrel{} 把它包成关系符。后者在两侧各加 5 mu 的粗空（合计 5.55542 pt），恰好与 \bigm| 的间距一致。如果不是非用 \middle 不可，\bigm| 本来就更短。

定界符一览：\langle、\lceil、\lfloor、\| 与 \Vert

只有字体备有「可伸长部件」的符号，才能跟在 \left／\right 或 \big 一族之后。圆括号、方括号和斜杠可以直接从键盘打出，但 { } 是 LaTeX 的保留字符，要作为花括号定界符就得写 \{ \}。尖括号请用 \langle \rangle，不要用键盘上的 < >：后者是不等号，也就是关系符，两侧会加粗空，根本不像定界符。实测：\langle a,b\rangle 为 21.79976 pt，而 <a,b> 膨胀到 35.13298 pt——宽了 13 pt 以上。

绝对值与范数：|x| 为何出事，以及 \DeclarePairedDelimiter

| 与 \| 都是 Ord（普通符号），从不表明自己是开还是闭。代价在 |-x| 上表现得最刺眼：实测 23.49298 pt，而 \lvert -x \rvert 是 19.04865 pt。相差的 4.44433 pt，正是紧跟 Ord 的 - 被解读为 二元运算符，从而在两侧各带来 4 mu 的中空。\lvert 是 Open，其后的同一个 - 就成了一元负号，不带任何空白。函数名之后也一样：\sin|x| 比 \sin\lvert x\rvert 宽出一个细空（3 mu）。请使用 amsmath 的 \lvert／\rvert，范数则用 \lVert／\rVert。\| 与 \Vert 的输出完全一致，选哪个都改变不了这个问题。

话虽如此，每次都敲 \left\lvert … \right\rvert 并不现实。若同一记法要反复使用，正确答案是 mathtools 的 \DeclarePairedDelimiter。在导言区定义一次，正文里就写 \abs{x}；要随内容伸长写 \abs*{\frac{a}{b}}；要固定某一档写 \abs[\big]{x}。更妙的是，它生成的带星形式被包成 \mathopen{}\mathclose\bgroup … \aftergroup\egroup，因此 用了 \left … \right 却不会变成 Inner atom——实测 \sin\abs*{x} 为 23.54865 pt，与 \sin\lvert x\rvert 完全相同。宏包替你抵消了本页开头那 1.66663 pt。

\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}

% in the body:
\[
  \abs{x} \le \abs*{\frac{a}{b}}, \qquad
  \norm*{\frac{v}{2}}, \qquad \abs[\big]{y}
\]

• 高度难以预料的一次性公式 → \left … \right，又快又稳
• 要让多行括号一致，或要正确的间距 → \bigl \Bigl \biggl \Biggl 及对应的 r 版
• 在括号之间放一条竖线 → \bigm|，或 \;\middle|\;
• 只显示一侧（求值竖线） → \left. … \right|
• 同一记法反复使用 → mathtools 的 \DeclarePairedDelimiter
• 12 pt 文档里 \big 没效果 → 普通括号本就已是 12 pt；请从 \Big 起步