定界符 (\left \right)

当括号或竖线中的内容变成较高的分数或矩阵时，普通大小的定界符会显得太小。LaTeX 提供两种工具：\left … \right 会根据内容高度自动拉伸定界符；\big \Big \bigg \Bigg 则是四种由你手动选择的固定大小。本页整理两者的使用场景、只隐藏一侧的“不可见定界符”、可伸长的中间分隔符 \middle，以及定界符符号列表。

用 \left … \right 自动调整大小

最简单的做法是在开定界符前写 \left，在闭定界符前写 \right。LaTeX 会测量内容高度，并把定界符拉伸到 刚好覆盖内容 的大小。\left 或 \right 后面紧跟的字符才是真正的定界符：圆括号用 ( )，方括号用 [ ]，花括号用 \{ \}（见下文），尖括号用 \langle \rangle，依此类推。

\[
  \left( \frac{a^2 + b^2}{c^2} \right)
  \qquad
  \left[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right]
\]

第一个例子会把圆括号上下拉伸，包住高分数并精确匹配其高度。如果直接写成 ( \frac{a^2+b^2}{c^2} )，括号只有普通字符高度，会在大分数旁显得很小。第二个例子同样会把方括号拉伸到适合包含求和符号的内容。

有两条重要规则。第一，\left 和 \right 必须成对使用；漏掉一个就会编译错误。第二，配对的定界符 不必是同一种：可以像 \left( … \right] 那样用圆括号开、方括号闭，表示半开区间。注意，\left … \right 包围的范围会形成一个整体（组），并且 其输出内部不能换行。要把长公式换行，必须在对齐环境的每一行内完成这一对。

\left … \right 很方便，但它往往会选择比你想要的稍大的定界符；而且每个定界符会作为 inner atom 处理，有时会打乱你期望在运算符或关系符号周围得到的细致间距。如果到处都用它，括号可能显得过大，或者在多行之间大小不一致；这时就需要下面的手动大小。

不可见定界符（用 . 留空一侧）

虽然 \left 和 \right 必须成对出现，但有时你只想在 一侧 显示定界符。这时，在想留空那一侧的 \left 或 \right 后面紧跟一个 句点 .。. 会被视为“不绘制任何东西的定界符”（null delimiter）：它满足成对规则，但那一侧不显示任何符号。

\[
  \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0}
  \qquad
  \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1}
\]

这是构造 求值竖线（“在 x=0 处求值”）的经典写法。左侧的 \left. 不绘制任何东西，只有右侧的 \right| 会按内容高度拉伸成竖线，并在右下方带上 x=0。第二个例子中，竖线按分数 x^3/3 的高度伸长，下端有 0，上端有 1，正是定积分求值中熟悉的形状。也可以像 f(x) \big|_{0}^{1} 那样使用手动大小的竖线（下一节），这种写法不需要配对的 \left。

可伸长的分隔符 \middle

在集合描述法 { x | condition } 中，常常需要在外层定界符 内部 放一个竖线等分隔符，并让它 伸到与外层定界符相同的高度。在 \left 和 \right 之间，可以放任意多个 \middle 后接任意定界符。写 \middle| 就会在中间插入一条与外层花括号同高的竖线。

\[
  \left\{\, x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x^2 < \frac{1}{2} \,\right\}
\]

这里，外层花括号会根据内容（包含高分数）伸长，\middle| 竖线也伸到相同高度，清楚地分隔左右条件。普通的 | 只会保持一个字符高度，与伸长的花括号相比会显得特别小。注意，\middle 只能在 \left/\right 之间使用，不能单独使用。

手动大小：\big \Big \bigg \Bigg

\big \Big \bigg \Bigg 让你 从四个等级中手动选择大小，按这个顺序逐渐变大，并像 \big( 那样把定界符紧跟其后。\big 只比普通定界符稍大，可在行内使用而不撑大行距。\Big 约为 1.5 倍高，\bigg / \Bigg 更大，更适合陈列公式。

为什么要用手动大小而不是自动的 \left … \right？主要有三个理由。第一，多行之间大小一致：\left … \right 会按每行自己的内容决定大小，因此一组公式中的括号高度容易不一致；手动大小则能把所有行固定到同一等级。第二，避免过大的括号：内容只比平常稍高却让 \left … \right 选大一号时，可以把大小限制在 \big。第三，控制间距，这就需要下面的 l/r 形式。

像 \big 这样的 裸形式 会把定界符当作“ordinary atom”排版，因此前后会出现多余空白。要把它正确地作为开定界符或闭定界符排版，开端用 \bigl，闭端用 \bigr（l 表示 left，r 表示 right；各个大小都有 \Bigl/\Bigr、\biggl/\biggr、\Biggl/\Biggr）。带 l/r 的形式会被视为开/闭定界符，不会在定界符和前一项之间插入无谓空白。若要把内包表示法中的竖线那样的分隔符 作为关系符号放在中间，使用带 m（middle）的形式，如 \bigm|，它会在两侧加入适当的关系符号间距。

\[
  \bigl( a \bigr)
  \quad
  \Bigl( b \Bigr)
  \quad
  \biggl( c \biggr)
  \quad
  \Biggl( d \Biggr)
\]
\[
  \biggl\{\, x \bigm| x > 0 \,\biggr\}
\]

第一行展示同一种圆括号从左到右逐级变大（无论内容高度如何，都按指定等级的高度排版）。第二行是集合描述法：用 \biggl\{ … \biggr\} 固定花括号大小，并把 \bigm| 竖线作为关系符号放在中间。手动大小也适合嵌套定界符，例如 \bigl( \Bigl[ \,\cdots\, \Bigr] \bigr)，让内层比外层大一级以便区分。

定界符符号列表

下表列出可以放在 \left/\right 或 \big 系列后面的主要定界符。圆括号、方括号和斜杠可以直接从键盘输入，但 因为 { } 是 LaTeX 的保留字符，即使在数学中也必须写 \{ \} 才能得到作为定界符的花括号。单竖线是 |（也可用 \vert），双竖线是 \|（也可用 \Vert）。尖括号一定要使用 \langle \rangle，不要用键盘上的 < > 代替；后者会被当作关系符号（不等号），两侧带有关系符号间距，看起来不像定界符。

绝对值、范数与 \DeclarePairedDelimiter

对于绝对值和范数，直接写 |x| 或 \|x\| 时，LaTeX 可能无法判断每个 | 是开定界符还是闭定界符，从而影响间距。amsmath 提供了区分左右的命令：绝对值用 开 \lvert / 闭 \rvert，范数用 开 \lVert / 闭 \rVert，这样会按正确的开/闭定界符间距排版。

不过，每次都写 \left\lvert … \right\rvert 很繁琐。使用 mathtools package 的 \DeclarePairedDelimiter，可以把开定界符、闭定界符、自动大小和手动大小封装成一个命令。在导言区定义后，正文中就能写 \abs{x} 和 \norm{v}；带星号的 \abs*{…} \norm*{…} 会在内部调用 \left … \right，按内容拉伸。不带星号是普通大小，也可以用 [\big] 等可选参数选择手动大小。

\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}

% 本文では：
\[
  \abs{x} \le \abs*{\frac{a}{b}}, \qquad \norm*{\frac{v}{2}}
\]

这里 \abs{x} 是普通大小的绝对值，而 \abs*{\frac{a}{b}} 会用按分数高度拉伸的竖线包住分数。\norm*{…} 同样会让双竖线按内容伸长。如果同一个定界符会在文档中反复使用，像这样先定义一次最稳妥，间距和大小也会始终一致。详情请参阅 mathtools 页面。