Pfeile

Das Gleichheitszeichen stammt aus dem Jahr 1557, Plus und Minus reichen ins 15. Jahrhundert zurück. Der Pfeil dagegen – heute das auffälligste Zeichen der Mathematik – setzte sich erst im 20. Jahrhundert durch. Und kaum war er da, übernahm er die Hauptrolle: In der Kategorientheorie zählen die Pfeile zwischen den Objekten mehr als die Objekte selbst. Diese Seite ordnet die rund vierzig Pfeile, die LaTeX setzen kann, nach einem einzigen Gedanken – die Form eines Pfeils verrät seine Bedeutung. Meistens trifft das Bild die Wahl für Sie.

Pfeile leben im Mathematikmodus

Für TeX ist ein Pfeil kein Bild, sondern eine Relation, und Relationen tragen links und rechts einen festgelegten Abstand. Deshalb ist \to im laufenden Text ein Fehler und nicht bloß unschön: Außerhalb des Mathematikmodus existiert diese Abstandsregel gar nicht. Erst in den Mathematikmodus wechseln, etwa $f\colon A \to B$. Das Namensschema ist konsequent mechanisch – eine Richtung (left, right, up, down) plus eine Form. Ein großer Anfangsbuchstabe ergibt die doppelt gestrichene Variante (\Rightarrow ⇒), das Präfix long die lange (\longrightarrow ⟶). Die Namen lassen sich also konstruieren statt auswendig lernen.

% a map, and a chain of implications
\[
  P \implies Q, \qquad x \to 0, \qquad a_n \to L \;(n \to \infty)
\]

Zwei Aliase lohnen einen Blick auf ihre Herkunft – danach vergisst man sie nicht mehr. \to steht für \rightarrow, \gets für \leftarrow; der Name \gets stammt allerdings aus der Informatik, nicht aus der Mathematik. x \gets 1 liest sich als „x gets 1“, also als Zuweisung. Knuth, der TeX schrieb, verfasste auch The Art of Computer Programming und trug das Vokabular der Algorithmen direkt in sein Satzsystem hinein. Das zweite ist \iff (⟺). Die Abkürzung „iff“ für „if and only if“ verbreitete der Mathematiker Paul Halmos, von dem auch das hohle Quadrat ∎ am Ende eines Beweises stammt – bis heute Halmos-Symbol genannt. In der Praxis: das kurze \to und \gets für Abbildungen und Grenzwerte, \iff für Äquivalenzaussagen.

Waagerechte Pfeile: wozu der zweite Strich dient

Waagerechte Pfeile gibt es in einer einfach gestrichenen Familie (\leftarrow, \rightarrow, \leftrightarrow) und einer doppelt gestrichenen (\Leftarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow), jeweils mit einer long-Variante. Der Unterschied ist nicht dekorativ. Nach einer den Lesenden vertrauten Konvention trägt der einfache Strich → Abbildungen zwischen Mengen oder Objekten, der doppelte Strich ⇒ dagegen die Implikation zwischen Aussagen. Stehen „f: A → B“ und „P ⇒ Q“ auf derselben Seite, verrät allein die Zahl der Striche, dass hier von verschiedenen Ebenen die Rede ist. Die langen Formen haben eine feste Länge; sie sind nicht die dehnbaren Pfeile vom Ende dieser Seite.

Für logische Texte mit viel Prosa ergänzt amsmath \implies (⟹) und \impliedby (⟸). Dahinter stecken \Longrightarrow und \Longleftarrow mit zusätzlichem Abstand auf beiden Seiten – derselbe Abstand, den \iff verwendet. Schreibt man eine Kette als „P \implies Q \iff R“, bekommen die Zeichen Luft, und der zusätzliche Raum wirkt wie Interpunktion: Selbst eine lange Formel zeigt, wo man Atem holt. Eine Reihe eng gesetzter \Rightarrow verklumpt dagegen leicht.

Wenn die Form die Definition ist: Abbildungen und Haken

Von hier an werden die Pfeile zu Vokabeln. \mapsto (↦) trägt am Ende einen senkrechten Strich und bedeutet nicht „von Menge A nach Menge B“, sondern „dieses Element geht auf jenes“. Schreibt man x \mapsto x^2 neben f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, trennt man in einer einzigen Zeile die Abbildung selbst von der Zuordnung der Elemente. Verbreitet wurde die Schreibweise durch die Werke des Kollektivs Bourbaki. Der Haken von \hookrightarrow (↪) legt das Einhaken nahe und markiert üblicherweise eine Inklusion – eine Teilmenge, unverändert in eine größere Menge eingebettet. Beide gehören zum Standard-LaTeX und brauchen kein Paket.

\[
  f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2,
  \qquad \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}
\]

Wenn Injektivität oder Surjektivität ausdrücklich gesagt werden soll, wird die Form am beredtesten. In amssymb bekommt \rightarrowtail (↣) am Ende einen Schwanz, und \twoheadrightarrow (↠) verdoppelt seine Spitze. Der Schwanz liest sich als „jedes auf ein eigenes Ziel“ – injektiv –, die doppelte Spitze als „die andere Seite vollständig überdeckend“ – surjektiv; ein Pfeil mit beidem, ⤖, steht für eine Bijektion. Zerlegt man einen Pfeil in seine drei Teile (Ende, Schaft, Spitze), lässt sich die Bedeutung unmittelbar ablesen. Die Konvention hängt allerdings vom Kontext ab; in einer Arbeit definiert man das Zeichen am sichersten einmal bei der ersten Verwendung. \mapsto nicht für Inklusionen zweckentfremden und \hookrightarrow nicht mit \rightarrowtail verwechseln.

Senkrecht und diagonal: das Gerüst der Diagramme

Senkrechte und diagonale Pfeile kommen in kommutativen Diagrammen zur Geltung. Ernsthaft in Gebrauch kamen solche Diagramme 1945, in der Arbeit, mit der Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane die Kategorientheorie begründeten; sie etablierten eine Schreibweise, in der Objekte Knoten und Abbildungen Kanten sind. Die senkrechte Familie besteht aus \uparrow, \downarrow, \updownarrow sowie den doppelt gestrichenen \Uparrow, \Downarrow, \Updownarrow. Die vier Diagonalen sind \nearrow (↗), \searrow (↘), \swarrow (↙) und \nwarrow (↖) – die Namen sind schlicht die Himmelsrichtungen Nordost, Südost, Südwest und Nordwest. In der Analysis markieren ↗ und ↘ zudem wachsende und fallende Konvergenz. \uparrow und Verwandte dienen außerdem als Begrenzer für \left … \right.

Harpunen und amssymb: was ein halbseitiger Widerhaken aussagt

Eine Harpune ist ein Pfeil mit Widerhaken nur auf einer Seite. \rightleftharpoons (⇌) kombiniert einen oberen und einen unteren Haken und ist in der Chemie das übliche Zeichen für eine umkehrbare Reaktion oder ein Gleichgewicht. Der halbseitige Haken ist selbst die Bedeutung: Die beiden Pfeile stellen Hin- und Rückreaktion als getrennte Vorgänge dar, anders als das beidseitig gefiederte ⇄. Wer Chemie ernsthaft setzt, schreibt mit dem Paket mhchem einfach \ce{A <=> B}; Koeffizienten und Zustandssymbole werden gleich mit erledigt. Auch in der Physik tauchen Harpunen auf, etwa in Schreibweisen rund um den Drehimpuls.

Die dekorativen Pfeile – doppelte Spitzen, Schwänze, gestrichelte Formen – gehören dagegen nicht zum Standard-LaTeX und verlangen \usepackage{amssymb}. Das Paket gehört zu einer Sammlung von Schriften und Makros der American Mathematical Society, die jene Zeichen nachliefern sollte, die arbeitenden Mathematikerinnen und Mathematikern in Knuths ursprünglichen Mathematikschriften fehlten. Anders gesagt: Jeder Pfeil in der folgenden Tabelle existiert, weil jemand ihn für eine Arbeit gebraucht hat.

Pfeile, die sich einer Beschriftung anpassen

Alle bisherigen Pfeile hatten eine feste Länge. amsmath stellt \xrightarrow{…} und \xleftarrow{…} bereit, deren Schaft sich selbst dehnt, bis er zur darübergesetzten Beschriftung passt. Man verwendet sie, wenn eine Abbildung einen Namen verdient – A \xrightarrow{\ f\ } B – oder wenn an eine Kante einer exakten Sequenz oder eines kommutativen Diagramms eine Bedingung geschrieben werden soll. Die ältere Methode, mit \stackrel Text über ein \longrightarrow fester Länge zu setzen, funktioniert weiterhin, doch sobald der Text breiter ist, ragt er über den Pfeil hinaus; die dehnbaren Formen sind heute die naheliegende Wahl.

\usepackage{amsmath}   % \xrightarrow, \xleftarrow
% \usepackage{mathtools} % also \xLeftarrow, \xhookrightarrow, \xmapsto
\[
  A \xrightarrow{\;f\;} B \xrightarrow{\;g\;} C,
  \qquad x \xrightarrow[n\to\infty]{} L
\]

Mit dem optionalen Argument in eckigen Klammern lässt sich zusätzlich unter den Pfeil schreiben. \xrightarrow[n \to \infty]{\ a_n\ } setzt den Namen der Abbildung darüber und die Bedingung darunter, sodass eine Aussage über einen Grenzwert oder eine Konvergenz auf einen einzigen Pfeil passt. Sobald ein ganzes Diagramm entsteht, ist ein spezialisiertes Paket wie tikz-cd am Ende schneller; praktisch teilt man also auf: \xrightarrow für einen einzelnen Pfeil im Fließtext, tikz-cd für das Diagramm selbst.

Zusammengefasst verläuft die Entscheidung in etwa drei Schritten. Für Abbildungen und Relationen genügt Standard-LaTeX (\to, \mapsto, \hookrightarrow, \Rightarrow). Soll die Form selbst Bedeutung tragen – injektiv, surjektiv, Gleichgewicht –, greift man zu amssymb. Soll der Pfeil eine Beschriftung tragen und sich dehnen, nimmt man die \xrightarrow-Familie aus amsmath. Und sobald das Diagramm selbst gezeichnet wird, wechselt man zu tikz-cd. Die Wahl eines Pfeils sagt den Lesenden zugleich wortlos, auf welcher Ebene der Argumentation sie sich gerade befinden.