Summen, Integrale und große Operatoren

Summenzeichen Σ, Integral ∫, Mengenvereinigung ⋃ - das sind besondere Symbole, die in Formeln groß gesetzt werden und oberhalb, unterhalb oder daneben einen Bereich (Limits) tragen. LaTeX nennt diese Familie Operatoren variabler Größe (große Operatoren) und erzeugt sie mit Befehlen wie \sum, \int und \bigcup. Der gemeinsame Mechanismus: Ein Tiefgestelltzeichen _ und ein Hochgestelltzeichen ^ werden zu den Limits des Operators; in einer Anzeige werden sie über und unter dem Symbol gestapelt, im laufenden Text sitzen sie an seiner rechten Seite. Diese Seite erklärt, wie Limits angefügt werden, wie man ihre Position steuert (\limits, \nolimits), mehrzeilige Indizes setzt und eigene Operatoren definiert.

Was Operatoren variabler Größe sind

Mathematische Symbole gibt es in zwei Arten: feste Symbole, die in die Buchstabenhöhe passen (+, =, \cup, …), und Operatoren variabler Größe, die ihre Größe je nach Satzkontext ändern. Die wichtigsten Beispiele sind die Summe \sum, das Produkt \prod, das Integral \int und die Mengenvereinigung \bigcup. Sie werden im Displaystil groß und im Textstil kompakt gesetzt; Tief- und Hochstellungen werden jeweils besonders als Limits behandelt.

Mit “Limits” meinen wir die Indizes, die den Bereich einer Summe oder eines Integrals ausdrücken. In \sum_{i=1}^{n} ist i=1 die untere Grenze und n die obere Grenze. Das wird anders behandelt als ein gewöhnlicher Tief- oder Hochindex (wie rechts unten oder rechts oben bei x_i oder x^2): Ein Skript an einem Operator variabler Größe kann direkt unter und über dem Symbol stehen. Welche Variante entsteht, hängt vom Satzstil und von der Art des Symbols ab - darum geht es im nächsten Abschnitt.

Die grundlegenden Mitglieder sind in Standard-LaTeX (genauer im darunterliegenden TeX) eingebaut und benötigen kein Zusatzpaket. Die Mehrfachintegrale \iint und \iiint, der mehrzeilige Index \substack weiter unten und die Operatordefinition \DeclareMathOperator benötigen alle das Paket amsmath. Da amsmath faktisch Standard ist, lohnt es sich bei ernsthaftem mathematischem Satz, \usepackage{amsmath} in die Präambel aufzunehmen.

Summen, Produkte und wie Limits sitzen

Die Summe ist \sum, das Produkt \prod und das Koprodukt \coprod. Den Bereich geben Sie mit Tiefstellung _ und Hochstellung ^ an. In \sum_{k=0}^{n} a_k etwa setzt eine Anzeige das Summenzeichen Σ groß, mit k=0 direkt darunter und n direkt darüber. Dieselbe Formel im Text hält Σ klein, damit die Zeilenhöhe nicht gestört wird, und setzt k=0 und n klein an die rechte Seite des Symbols, übereinander.

別行立て:
\[
  \sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + \dots + a_n,
  \qquad \prod_{k=1}^{n} k = n!
\]

本文中: 級数 $\sum_{k=0}^{n} a_k$ は行内に収まる。

Dieser Wechsel zwischen oben/unten und Seite ist das stilabhängige Standardverhalten. Die Sum-Class-Symbole - Summe, Produkt, Koprodukt und Ähnliche - stapeln ihre Limits im Displaystil oben und unten, setzen sie im Textstil aber seitlich; amsmath nennt dieses Schema displaylimits (Limits oben/unten nur in Anzeigen). Das ist eine sinnvolle Voreinstellung, die unnötig vergrößerten Zeilenabstand im Text verhindert.

Wenn der Bereich nur aus einem Teil besteht, schreiben Sie nur das eine Skript. Eine Bedingung kann ebenfalls in die untere Grenze, etwa \sum_{i \in S}; in einer Anzeige steht i ∈ S direkt unter Σ. Wenn ein Skript aus mehr als einem Token besteht, muss es immer in { } stehen (wie k=1 in \sum_{k=1}). Vergisst man das und schreibt \sum_k=1, wird nur k tiefgestellt, während =1 rechts neben dem Symbol weiterläuft.

Integrale - Limits an der Seite

Das Integralzeichen ist \int, und sein Bereich (die Integrationsgrenzen) wird ebenfalls mit Tief- und Hochstellung angegeben. \int_a^b f(x)\,dx ergibt ein bestimmtes Integral mit unterer Grenze a und oberer Grenze b. Wichtig ist: Integrale verhalten sich standardmäßig anders als Summen. Integral-Class-Symbole wie \int setzen ihre Limits auch in einer Anzeige rechts neben das Symbol. Das entspricht der mathematischen Satzkonvention; in der Definition von \int ist intern \nolimits (seitliche Platzierung) eingebaut.

\[
  \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1,
  \qquad \oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
\]

Auch in einer Anzeige setzt dieses Beispiel 0 rechts unten und ∞ rechts oben an ∫ (bei einer Summe würden sie oben und unten gestapelt). Das \, (dünner Abstand) zwischen Integrand und dx ist der kleine Abstand, der im mathematischen Satz üblich ist. Ein Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve ist \oint; dabei liegt ein kleiner Kreis über dem ∫.

Ein Mehrfachintegral kann man durch Wiederholen des Symbols als \int\int setzen, aber der Abstand zwischen den Zeichen wirkt oft unbeholfen. Mit amsmath erhalten Sie eigene Befehle mit optimal verdichtetem Abstand: das Doppelintegral \iint, Dreifachintegral \iiint, Vierfachintegral \iiiint und das gepunktete Mehrfachintegral \idotsint (mit Punkten zwischen zwei Integralzeichen, wie ∫⋯∫). Der Abstand wird sowohl inline als auch im Display angepasst.

\[
  \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy,
  \qquad \iiint_{V} f\,dV,
  \qquad \idotsint_{A} f\,dV
\]

Wenn Sie die in der Physik üblichen geschlossenen Integralzeichen brauchen - doppelte und dreifache Konturintegrale über Flächen und Volumina -, stellt das Paket esint Befehle wie \oiint und \oiiint bereit. Standardmäßig ist nur \oint verfügbar.

Limitposition ändern (\limits / \nolimits)

Die Standardplatzierung lässt sich mit zwei Befehlen überschreiben. Setzen Sie \limits direkt nach einen Operator, um seine Limits oben und unten zu erzwingen, oder \nolimits, um sie seitlich zu erzwingen. Soll der Bereich einer Summe im laufenden Text oben und unten stehen, schreiben Sie etwa \sum\limits_{k=1}^{n}; sollen die Limits eines angezeigten Integrals gestapelt werden, schreiben Sie \int\limits_0^1.

本文中で上下に: $\sum\limits_{k=1}^{n} k$

別行立ての積分を上下に:
\[
  \int\limits_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}
\]

Entscheidend ist hier, wo der Befehl steht. \limits und \nolimits müssen direkt nach dem Operator kommen, auf den sie sich beziehen (vor den Skripten). Ein Platzieren nach den Skripten, etwa \sum_{k=1}\limits, ist ein Fehler. Wenn mehrere von \limits, \nolimits oder \displaylimits hintereinander stehen, gewinnt das letzte.

Um ein Symbol zum stilabhängigen Standard zurückzubringen (dem displaylimits der Sum-Class), verwenden Sie \displaylimits. Die folgende Tabelle fasst die Voreinstellung für jede Symbolart und die Wirkung der Überschreibungsbefehle zusammen.

Grenzwerte und Schranken (die \lim-Familie)

\lim (Grenzwert), \limsup (Limes superior) und \liminf (Limes inferior) sind Operatoren, die wie Funktionsnamen aufrecht (roman) gesetzt werden; ihre Skripte verhalten sich aber wie bei der Sum-Class: In einer Anzeige steht der Index direkt darunter, inline rechts unten. \limsup und \liminf werden als die zwei Wörter “lim sup” und “lim inf” mit passendem Wortabstand gesetzt.

\[
  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0,
  \qquad \limsup_{n \to \infty} a_n \ge \liminf_{n \to \infty} a_n
\]

Da dies eine Anzeige ist, steht n→∞ direkt unter lim. Dieselbe Formel inline setzt n→∞ klein rechts unten an lim. \sup, \inf, \max und \min gehören zur selben Familie und setzen einen Index darunter (sie stehen auch im Abschnitt zu Funktionsnamen in “Math mode basics”). Der Pfeil → ist \to, und Unendlich ist \infty.

Große Operatoren (n-stellig)

Auch die in Mengenlehre, Logik und Algebra verwendeten n-stelligen Operatoren haben wie \sum variable “große” Versionen. Der Befehl ist der Name des entsprechenden binären Operators mit vorangestelltem big. Zur binären Vereinigung \cup (A ∪ B) gehört zum Beispiel die variable Version \bigcup. Alle diese Symbole sind Sum-Class, daher stapeln sie ihre Limits im Display oben und unten und setzen sie inline seitlich.

\[
  \bigcup_{i=1}^{n} A_i, \qquad
  \bigcap_{i \in I} A_i, \qquad
  V = \bigoplus_{k} V_k
\]

Da dies eine Anzeige ist, stapelt \bigcup_{i=1}^{n} i=1 direkt unter das große ⋃ und n darüber. \bigoplus_{k} setzt k unter ein vergrößertes ⊕ und drückt so eine direkte Summe V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ … mit einem einzigen Symbol aus. Inline sitzen alle diese Limits klein rechts neben dem Symbol.

Mehrzeilige Indizes (\substack und subarray)

Unter einer Summe oder einem großen Operator möchte man Bedingungen oft auf mehrere Zeilen schreiben (etwa “0 ≤ i ≤ m und 0 < j < n”). Mit \substack{…} aus amsmath wird jede durch \\ getrennte Zeile zu einem zentriert gestapelten Index. Wichtig ist, dass das gesamte \substack{…} an die Tiefstellungsposition kommt.

\[
  \sum_{\substack{0 \le i \le m \\ 0 < j < n}} P(i,j)
\]

In einer Anzeige werden “0 ≤ i ≤ m” und “0 < j < n” in zwei Zeilen direkt unter Σ gestapelt, jede Zeile zentriert. Das \\ innerhalb von \substack trennt Zeilen und steht nicht nach der letzten Zeile.

Um die Zeilen linksbündig auszurichten, verwenden Sie die allgemeinere Umgebung subarray. Das {l} in \begin{subarray}{l} … \end{subarray} gibt Linksbündigkeit an ({c} würde zentrieren), und Zeilen werden wie in \substack mit \\ umbrochen. Das ist besser lesbar, wenn die Bedingungen links bündig beginnen sollen.

\[
  \sum_{\begin{subarray}{l} i \in \Lambda \\ 0 < j < n \end{subarray}} P(i,j)
\]

Operatoren definieren (\DeclareMathOperator*)

Wenn Sie einen Operatornamen brauchen, der nicht in der Liste steht, aufrecht gesetzt werden soll und dessen Index direkt darunter stehen soll - etwa argmax, argmin oder esssup -, verwenden Sie \DeclareMathOperator aus amsmath. Einmal in der Präambel deklariert, lässt er sich im Text als kurzer Befehl aufrufen. Entscheidend für ein Limit direkt darunter (das Sum-Class-Verhalten von \lim) ist die Sternform \DeclareMathOperator*. Ohne Stern sitzt der Index rechts unten am Namen.

% プリアンブルで:
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

% 本文で:
\[
  \hat{\theta} = \argmax_{\theta} L(\theta),
  \qquad \rank A \le n
\]

Hier ist \argmax mit Stern definiert, daher setzt eine Anzeige θ direkt unter arg max (inline rechts unten). Das \, im Namenstext ist ein dünner Wortzwischenraum, der die zwei Wörter “arg max” passend trennt. \rank hat dagegen keinen Stern; \rank A wird also als rank A aufrecht und korrekt beabstandet gesetzt, und ein Index sitzt rechts unten. Für eine einmalige Verwendung können Sie auch direkt \operatorname{rank} schreiben, ohne zu deklarieren (oder \operatorname*{…}, um das Limit darunter zu setzen).

Im Namenstext gelten besondere Regeln: Ein Bindestrich - wird als gewöhnlicher Textbindestrich gesetzt (nicht als Minuszeichen), und ein Stern * als hochgestellter Textstern (nicht als zentrierter binärer Stern). Funktionsnamen sollten mit \DeclareMathOperator oder \mathrm gesetzt werden, nicht mit \text{…}; so wird der Abstand automatisch angepasst, und sie bleiben auch in kursiven Kontexten wie einer Theoremumgebung aufrecht.

Ein verwandter Kniff: Wenn Sie Skripte an den vier Ecken eines Sum-Class-Symbols setzen möchten - etwa ein Prime (′) an einer Summe -, bietet amsmath \sideset. Mit \sideset{}{'}\sum_{n} a_n erhält Σ rechts oben ein Prime, während unten weiterhin ein Limit steht. \sideset ist nur für Sum-Class-Symbole gedacht; das erste Argument setzt die linken Ecken, das zweite die rechten. Innerhalb jedes Arguments schreiben Sie untere und obere Ecke getrennt als _{lo}^{hi}; \sideset{_a^b}{_c^d}\sum setzt also an jede der vier Ecken ein anderes Skript (die gewöhnlichen _- und ^-Limits bleiben wie üblich nutzbar).