Log-ähnliche Funktionen und mod

Wenn du in einer Formel einen Funktionsnamen wie \sin oder \log eingibst, wird er aufrecht (roman) und mit dem richtigen Abstand gesetzt. Das ist keine Dekoration. Im Mathematikmodus gilt jeder Buchstabe als Variable; sin(x) würde also zum Produkt der drei Variablen s, i und n. Deshalb definiert LaTeX die gebräuchlichen Funktionsnamen als Befehle vor. Diese Seite behandelt trigonometrische, logarithmische und exponentielle Funktionen, Verwandte wie \lim und \max, deren Index direkt darunter steht, die Modulo-Schreibweisen \bmod und \pmod sowie das Definieren eigener Operatoren.

Warum benannte Operatoren nötig sind

Im Mathematikmodus wird jeder Buchstabe als Variablenname verstanden und kursiv gesetzt. sin x ergibt daher nicht „Sinus“, sondern das Produkt der vier Größen s, i, n, x, geneigt und mit dem Abstand einer Variablenfolge. Das widerspricht der mathematischen Konvention, Funktionsnamen und Konstanten aufrecht zu setzen.

Richtig ist ein eigener Befehl wie \sin. LaTeX definiert die Namen häufiger Funktionen und Operatoren vor; sie werden aufrecht gesetzt und erhalten automatisch den passenden Operatorabstand. \sin x liefert zum Beispiel das Lehrbuchbild: ein aufrechtes „sin“, gefolgt von einem kleinen Abstand und der Variablen x. Alle diese Befehle gehören zu Standard-LaTeX und benötigen kein Zusatzpaket; nur eigene Definitionen brauchen amsmath, siehe unten.

Trigonometrie, Logarithmen und Exponentialfunktionen

Am häufigsten braucht man die trigonometrische, hyperbolische, logarithmische und exponentielle Familie. Das sind gewöhnliche Operatoren: Wenn sie einen Index oder Exponenten tragen, steht er rechts am Symbol, nicht darunter. Die darunter gesetzten Varianten kommen im nächsten Abschnitt.

• Trigonometrisch: \sin \cos \tan \cot \sec \csc, dazu die Umkehrfunktionen \arcsin \arccos \arctan.
• Hyperbolisch: \sinh \cosh \tanh \coth.
• Logarithmen: \log (allgemeiner Logarithmus), \ln (natürlicher Logarithmus), \lg (Logarithmus zur Basis 2).
• Exponential und weitere: \exp (Exponentialfunktion), \deg (Grad), \dim (Dimension), \ker (Kern), \hom, \arg (Argument).

Basen und Exponenten werden mit dem gewöhnlichen Skriptmechanismus angehängt. \log_2 x setzt einen Logarithmus zur Basis 2 mit einer kleinen 2 rechts unten an „log“, und \sin^2\theta setzt die 2 rechts oben an „sin“, also die übliche Form sin²θ. Wähle \log, \ln und \lg nach Bedeutung: \ln für den natürlichen Logarithmus, \lg für den Logarithmus zur Basis 2, etwa in der Informationstheorie.

\[
  \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad
  \log_2 8 = 3, \qquad
  \ln e = 1.
\]

In dieser Anzeige sind „sin“, „cos“, „log“ und „ln“ alle aufrecht; \sin^2\theta setzt die 2 rechts oben an sin, und \log_2 8 setzt die 2 rechts unten an log. Die drei Formeln stehen in einer Zeile und werden durch den breiten Abstand \qquad getrennt. Lässt man zum Vergleich den \ weg, etwa in sin^2\theta, werden s, i und n als geneigte Variablen mit falschem Abstand gesetzt.

Operatoren mit Grenzen darunter

Neben den Funktionen aus dem vorigen Abschnitt gibt es Operatoren, die ihren Index direkt unter das Symbol setzen. Grenzwerte, Suprema und Infima sowie Maxima und Minima gehören dazu, weil die Konvention den Bereich oder die Bedingung deutlich unter dem Symbol zeigen will.

• \lim (Grenzwert), \limsup (Limes superior), \liminf (Limes inferior).
• \sup (Supremum), \inf (Infimum), \max (Maximum), \min (Minimum).
• \det (Determinante), \gcd (größter gemeinsamer Teiler), \Pr (Wahrscheinlichkeit).
• Von amsmath ergänzt: \injlim und \projlim (direkter und inverser Limes, gesetzt als „inj lim“ / „proj lim“), die Pfeilvarianten \varinjlim und \varprojlim sowie \varlimsup / \varliminf, alle üblich in Kategorientheorie und bei Limites von Funktoren.

In Display-Stil setzen sie den Index direkt darunter, in Text-Stil (inline) rechts unten. Das entspricht genau den großen Operatoren wie \sum und \int und wird vom Stil gesteuert. Um die Unterstellung auch inline zu erzwingen, verwendet man \displaystyle; siehe „Summen, Integrale und große Operatoren“. \lim_{x \to 0} setzt x→0 in einer Anzeige direkt unter „lim“, im laufenden Text klein rechts unten.

\[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad
  \max_{1 \le i \le n} a_i .
\]

In dieser Anzeige steht x→0 direkt unter „lim“ und 1≤i≤n unter „max“, während der jeweilige Ausdruck rechts davon folgt; auch \sin x wird korrekt aufrecht gesetzt. Inline als $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ erscheint der Bereich dagegen klein rechts unten an „lim“.

Modulare Arithmetik (mod)

Das „mod“ der modularen Arithmetik hat je nach Kontext mehrere Formen, die sich in Abstand und Klammern unterscheiden. Standard-LaTeX bietet \bmod und \pmod; amsmath ergänzt \mod und \pod.

\bmod ist mod als binärer Operator; das b steht für binary. 5 \bmod 3 setzt „mod“ mit binärem Operatorabstand zwischen 5 und 3, also „5 mod 3“. Verwende es, wenn der Wert selbst, der Rest, gemeint ist. \pmod{n} dagegen ist der geklammerte Modulus, der an eine Kongruenz angehängt wird. a \equiv b \pmod{n} setzt „(mod n)“ etwas abgesetzt rechts an die Formel, also „a ≡ b (mod n)“; das Argument n steht in geschweiften Klammern. Mit geladenem amsmath wird der Abstand vor \pmod in Inline-Formeln automatisch verkleinert.

\[
  5 \bmod 3 = 2, \qquad
  17 \equiv 5 \pmod{12}.
\]

In dieser Anzeige wird der linke Ausdruck mit binärem Operatorabstand als „5 mod 3 = 2“ gesetzt; der rechte als „17 ≡ 5 (mod 12)“, mit dem Kongruenzzeichen \equiv und einem geklammerten „(mod 12)“ am Ende.

Die beiden von amsmath ergänzten Befehle sind Varianten von \pmod. \mod{n} setzt nur „mod n“ ohne Klammern, eine von manchen Autoren bevorzugte Form mit Abstand davor; \pod{n} lässt „mod“ weg, behält aber die Klammern und setzt „(n)“. Die Tabelle ordnet die vier Formen.

Eigene Operatoren definieren

Manchmal soll ein Funktionsname, der nicht in der Liste steht, korrekt aufrecht gesetzt werden: etwa die Signumfunktion sgn, die Spur tr, der Rang rank oder das Bild Im. Für einen Einzelfall nutzt man \operatorname{…} aus amsmath. \operatorname{sgn} x setzt „sgn“ aufrecht und mit richtigem Abstand, in derselben Qualität wie \sin und ähnliche Befehle.

Wenn du denselben Operator mehrfach verwendest, deklariere ihn einmal in der Präambel mit \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}. Im Text schreibst du dann nur noch \sgn, und die Definition steht an einer Stelle. Für einen Operator, dessen Index direkt darunter stehen soll, wie bei \lim, nimm die Sternform \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}; für Einzelfälle leistet \operatorname*{…} dasselbe. Ohne Stern stehen Skripte rechts, mit Stern in Anzeigen darunter. All das kommt aus amsmath, intern aus dem automatisch geladenen Paket amsopn, daher brauchst du \usepackage{amsmath}.

\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
% 本文中 / in the body:
% \[ \sgn x, \qquad \argmax_{x \in S} f(x) \]

Nach diesen Deklarationen ergibt \sgn x in einer Anzeige ein aufrechtes „sgn“ mit der Variablen x, während \argmax_{x \in S} „arg max“ setzt, mit einem schmalen \, zwischen den Wörtern, und x∈S direkt darunter platziert. Das \, im Namen hält den richtigen Abstand zwischen „arg“ und „max“. Ist der Operator einmal deklariert, genügt später eine Änderung in der Präambel, um die Schreibweise im ganzen Dokument anzupassen.