집합 및 논리 기호

집합론과 논리에서 쓰는 기호, 즉 ∀, ∃ 같은 양화사, ∧, ∨, ¬ 같은 논리 연결자, ∈, ⊂, ∪ 같은 집합 기호, 그리고 증명에서 쓰는 ⊢, ⊨, ∴, ∵는 모두 수식 모드 안에서 \forall, \in, \cup 같은 명령으로 입력합니다. 기억할 점은 세 가지입니다. 대부분은 표준 LaTeX에서 쓸 수 있고, \land/\lor는 \wedge/\vee의 별명이며, \nexists, \complement, \therefore 같은 일부는 amssymb 패키지가 필요합니다. 이 페이지는 입력 방식을 정리한 뒤 양화와 논리, 집합, 증명(turnstile), 추론 기호로 나누어 표로 모으고, \varnothing과 \emptyset처럼 헷갈리기 쉬운 선택도 설명합니다.

기호 입력과 패키지

이 기호들은 수식 모드 안에서 씁니다. 본문(텍스트 모드)에 \forall를 그대로 쓰면 오류가 나므로 $\forall x$처럼 먼저 수식 모드에 넣어야 합니다. 명령 이름은 영어 의미와 대응합니다. 예를 들어 \forall, \exists, \in(element of), \subset(subset), \cup(union) 등이 있습니다.

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

여기서 \forall, \exists, \in, \cup, \subseteq, \Rightarrow는 표준 LaTeX 명령이라 추가 패키지가 필요 없습니다. 반면 \implies와 \iff는 amsmath에서 오고, 뒤에 나오는 \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because는 amssymb가 필요합니다. 실무적으로는 프리앰블에 amsmath와 amssymb를 함께 불러오면 이 페이지의 모든 기호를 사용할 수 있습니다.

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

아래 표에서는 amssymb가 필요한 항목을 “(ams)”로 표시합니다. 표시가 없는 명령은 표준 LaTeX라고 보면 됩니다. 또한 기호에는 종류가 있습니다. \in과 \subset은 관계 기호(양쪽 간격이 조금 넓음), \cup, \cap, \land, \lor는 이항 연산자(좌우 대칭 간격), \forall, \neg, \top 등은 일반 기호로 조판됩니다. 이 종류가 LaTeX가 자동으로 넣는 간격을 결정합니다.

양화사와 논리 연결자

먼저 술어 논리의 뼈대가 되는 기호입니다. 전칭 ∀(\forall)와 존재 ∃(\exists), 그리고 그 부정인 “존재하지 않음” ∄(\nexists, ams)가 있습니다. 논리 연결자는 기본적으로 부정 ¬, 논리곱 ∧, 논리합 ∨, 함의 ⇒, 동치 ⇔ 다섯 가지입니다. 함의와 동치에는 두 계열이 있습니다. \Rightarrow/\Leftrightarrow는 짧은 이중선 화살표이고, \implies/\iff(amsmath)는 양쪽에 넓은 간격이 붙은 긴 화살표라 산문처럼 읽히는 추론 흐름을 쓸 때 읽기 쉽습니다.

몇 가지 주의점입니다. \neg와 \lnot은 완전히 같고, \land/\lor도 \wedge/\vee의 별명일 뿐입니다(\amssymb 불필요). \land/\lor라는 이름은 논리 의도가 분명해 명제식에 어울리고, \wedge/\vee는 외적이나 격(lattice)의 meet/join처럼 의미가 “논리”가 아닌 문맥에서 선호됩니다. 출력은 같으므로 취향과 문맥에 따라 고르면 됩니다. \implies/\iff는 실제로 \Longrightarrow/\Longleftrightarrow 양쪽에 굵은 공백(\; 상당)을 넣은 것이며, \iff는 LaTeX 커널 명령을 amsmath가 재정의해 간격을 개선합니다. 문서 안에서는 짧은 \Rightarrow와 긴 \implies의 사용을 일관되게 유지하세요.

집합 기호

이제 집합 주변의 기호입니다. 공집합에는 두 글리프가 있습니다. 표준 \emptyset(∅)과 amssymb가 제공하는 \varnothing(∅)입니다. 후자는 대각선이 지나가는 깔끔한 원형이고, 세로로 길어 보이는 \emptyset보다 \varnothing를 선호하는 사람이 많아 여기서는 권장 형태로 둡니다. 원소 관계는 ∈(\in)과 그 부정 ∉(\notin), 좌우가 반전된 ∋(\ni, “원소로 가진다”)입니다. 포함은 진부분집합 ⊂, 부분집합 또는 같음 ⊆, 그리고 그 반대 방향 ⊃, ⊇가 있습니다. 집합 연산은 합집합 ∪, 교집합 ∩, 차집합 ∖(\setminus), 여집합 ∁(\complement, ams)입니다.

사용 지침입니다. 공집합은 \varnothing(amssymb)을 기본으로 삼고 문서 안에서 통일하는 것을 권합니다. \subset이 “진부분집합”을 뜻하는지 “부분집합 또는 같음”을 뜻하는지는 분야마다 다르므로, 모호함을 피하려면 ⊆(\subseteq)나 진부분집합 전용 ⊊(\subsetneq, amssymb)을 명시합니다. 차집합은 \setminus(∖)이며, 나눗셈의 /가 아닙니다. \setminus는 이항 연산자로 등록되어 A \setminus B에서 양쪽에 적당한 간격이 들어가지만, 모양이 비슷한 \backslash(\)는 일반 기호라 A \backslash B는 양쪽이 붙어 조판됩니다. 따라서 집합 차에는 \setminus를 고릅니다. 여집합은 \complement를 위첨자로 하여 A^\complement라고 쓰거나, \overline{A}(바) 또는 A^c로 나타내기도 합니다.

증명과 turnstile 기호

논리학과 증명론에서 “도출 가능”과 “충족함”을 나타내는 기호입니다. ⊢(\vdash)는 구문적 증명 가능성을 나타내는 turnstile입니다(“Γ ⊢ φ: Γ에서 φ를 증명할 수 있다”). ⊨(\models)는 의미론적 귀결을 나타내는 이중 turnstile입니다(“Γ ⊨ φ: Γ가 φ를 함의 / 충족한다”). ⊣(\dashv)는 ⊢를 좌우로 뒤집은 기호이며, 수반 함자 표기 등에도 쓰입니다. ⊤(\top)는 항진 / 최대원, ⊥(\bot)는 모순 / 최소원(격이나 순서집합의 top과 bottom)을 나타내며, \bot은 “수직 / 직교” 기호로도 쓰입니다.

이들은 모두 표준 LaTeX라 추가 패키지가 필요 없습니다. \vdash와 \models는 관계 기호이므로 양쪽에 적절한 간격이 들어가고 Γ \vdash φ처럼 양변을 취하는 형태로 자연스럽게 조판됩니다. 다만 ⊤와 ⊥는 일반 기호로 취급되므로 이항 관계처럼 쓰면 간격이 조금 좁아 보일 수 있습니다.

추론 표시(∴, ∵)

마지막으로 논증의 흐름을 나타내는 두 기호입니다. ∴(\therefore, “그러므로”)는 결론을, ∵(\because, “왜냐하면”)는 이유를 이끕니다. 둘 다 amssymb가 필요하며, 프리앰블에 \usepackage{amssymb}가 없으면 “undefined control sequence” 오류가 납니다.

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

이들은 일반 기호로 조판되므로 앞뒤 간격이 자동으로 충분히 들어가지 않습니다. 위 예처럼 \therefore\ 뒤에 명시적 공백(\ 또는 \quad)을 보태면 읽기 좋아집니다. 손글씨 판서에서는 자주 쓰이지만, 정리된 수학 문장에서는 “therefore”, “hence” 같은 단어를 쓰는 편이 선호되기도 하므로 ∴와 ∵는 쓸 곳을 가려야 하는 기호입니다.