交换图 (tikz-cd / amscd)

可交换图把对象作为点摆放，并用箭头表示对象之间的映射，使“沿任意路径得到的复合都相同”一眼可见。LaTeX 中排版这类图主要有两个工具：构建在 TikZ 之上的强大 tikz-cd，以及更简洁的 AMS 宏包 amscd。本页分别用二者排版一个可交换正方形，也就是最基本的可交换图，整理箭头方向、标签和线型的指定方法，并比较在什么场景下该选哪一个。

什么是可交换图

可交换图广泛用于代数、范畴论和拓扑学，用来一眼传达关系。最小的例子是可交换正方形：在四个角放置对象 A、B、C、D，上边是一条映射 f（从 A 到 B），下边是 g（从 C 到 D），左边是一条从 A 到 C 的映射，右边是一条从 B 到 D 的映射。“这个正方形可交换”只是说，从 A 到 D 的两条路径，也就是先走上边再沿右边向下的复合，以及先沿左边向下再走下边的复合，是同一个映射。

图本身也是数学内容，因此通常放在陈列数学环境中（\[ … \] 或 equation 环境）。历史上出现过许多用于此任务的宏包，如 xy/xypic、diagrams 等，但今天事实上的标准是 tikz-cd，它能轻松绘制曲线、斜向箭头以及复杂的多行图。不过，如果简单的矩形图已经足够，AMS 的 amscd 是轻量选择。下面依次介绍二者。

tikz-cd —— 现代选择

tikz-cd 是把通用绘图宏包 TikZ 调整为可交换图用途的宏包。它由 Florêncio Neves 编写，现在由 Augusto Stoffel 维护；当前 CTAN 版本为 1.0（2021 年 5 月）。在导言区用 \usepackage{tikz-cd} 加载（或先加载 TikZ，再用 \usetikzlibrary{cd}）后，就能使用 tikzcd 环境。这个环境的内容像 LaTeX 的 tabular 一样写成矩阵：用 & 分隔单元格，用 \\ 换行。每个单元格都是放置图中“对象”的节点，并且全部自动以数学模式排版。

对象之间的箭头用 \arrow 命令绘制；短别名 \ar 的作用完全相同。在箭头起点所在的单元格中写 \arrow[…]，并在方括号中指定目标和装饰。目标用方向键给出：r 表示右，l 表示左，u 表示上，d 表示下。这些字母可以连成字符串，例如 [rd] 指向右下一格（斜向）。

要给箭头加标签（映射名），就在选项中写一个带引号的字符串。\arrow[r, "f"] 表示“指向右侧相邻单元格、标签为 f 的箭头”。默认情况下，标签位于箭头左侧（相对于前进方向的左边）；在带引号标签后立即加撇号 ' 会把它移到另一侧，写法如 "g"'。一根箭头也可以有多个标签，并可像 "f" near start 那样细调位置。下面是一个典型用法的小例子。

\[
\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "\phi"] \arrow[rd] & B \\
  & C
\end{tikzcd}
\]

这会得到左上角 A、右上角 B、右下角 C：一条带标签 φ 的水平箭头从 A 指向右侧的 B，同时一条斜向箭头从 A 指向右下方的 C。注意 \arrow[r, "\phi"] 和 \arrow[rd] 都连续写在同一个 A 单元格中；一个单元格可以发出任意数量的箭头。

有了这些基础，就来排版开头提到的可交换正方形。把四个角 A、B、C、D 放成 2×2 矩阵，并画四根箭头：从 A 向右的 f，从 A 向下的左边，从 B 向下的右边，以及从 C 向右的 g。

\[
\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha"] & B \arrow[d, "\beta"] \\
  C \arrow[r, "g"]                      & D
\end{tikzcd}
\]

这会得到一个以 A、B、C、D 为四角的正方形：上边是向右的 f，下边是向右的 g，左边是向下的 α，右边是向下的 β。每个标签都放在默认侧，也就是相对于箭头方向的左侧。例如若想把右边的 β 放到另一侧（外侧），写 \arrow[d, "\beta"']。由于 tikzcd 环境内部是数学模式，若标签中需要普通文字，应在 tikz-cd 的标签选项中使用 \text{…}（来自 amsmath）。

tikz-cd 的最大优势在于可以细致改变箭头外观。线型、箭头头部和弯曲方式，只要在 \arrow 的选项中加入样式键即可切换。下表汇总常用项。多个样式可以同时指定并自由组合，例如 \arrow[r, tail, two heads, dashed]。

把表示同构的 \sim 或 \simeq 作为标签放到箭头上也很常见。例如 \arrow[r, dashed, "\simeq"] 会在虚线箭头上方放置同构符号 ≃。若想在同一对对象之间画两条不同的弧线，可分别使用 bend left 和 bend right。由于 tikz-cd 也能直接接受 TikZ 键（如 color=…、dotted、in=…/out=… 等），它的表达范围实际上覆盖了整个 TikZ。

有一点需要注意：tikzcd 图在 DVI 查看器中无法正确显示。请使用直接生成 PDF 的 pdflatex、lualatex、xelatex，或走 DVI 转 PDF/PS 的流程。还要注意，\arrow 有一种早于引号语法的旧写法 \arrow[…]{direction}labels（例如 \arrow{r}{f}），为了向后兼容仍可使用；但新文档中引号语法更易读，也更推荐。

amscd —— AMS 的简洁 CD 环境

amscd 是把 AMS-TeX 的可交换图功能移植到 LaTeX 的宏包，在导言区用 \usepackage{amscd} 加载。它只提供一个 CD 环境。与 tikz-cd 一样，内容用 & 和 \\ 写成矩阵；但 amscd 不依赖外部宏包（不需要 TikZ），只靠 TeX 排版即可运行，因此很轻量。不过它的设计有意保持简单：只能画水平和垂直箭头（见下文）。

所有箭头都写成以 @ 开头的特殊记号。水平箭头为 @>>>（向右）和 @<<<（向左）；垂直箭头为 @VVV（向下，V 来自 vertical）和 @AAA（向上，把 A 看作向上的箭头）。等号（双线）水平方向用 @=，垂直方向用 @|（或 @\vert）。如果某个网格点不需要箭头，则放 @.（点）。水平箭头写在对象之间，也就是同一行的 & 位置；垂直箭头写在对象正下方的那一行。

标签写在构成箭头的字符之间。水平的 @>>> 有三个 > 分隔符，因此有两个插槽：第一个插槽（紧跟 @> 后）中的文字放在箭头上方，第二个插槽中的文字放在下方。因此 @>f>> 把 f 放上方，@>>g> 把 g 放下方，@>f>g> 则上方 f、下方 g。垂直的 @VVV 同理：@VfVV 把 f 放在向下箭头左侧，@VVfV 把 f 放在右侧（@AAA 也遵循同一规则）。

下面是 AMS amscd 手册中的可交换正方形示例。它假定 \End 已定义为算子名（相当于 \operatorname）。

\[
\begin{CD}
  S^{{\mathcal{W}}_\Lambda}\otimes T  @>j>>  T \\
  @VVV                                @VV{\End P}V \\
  (S\otimes T)/I                     @=  (Z\otimes T)/J
\end{CD}
\]

在这张图中，第一行从左侧对象到右侧 T 画出一条水平箭头，并在上方放置标签 j。中间一行（@VVV 和 @VV{\End P}V）生成垂直箭头：左列是无标签的向下箭头，右列是右侧带标签 End P 的向下箭头。底行用 @=，也就是双线等号，连接两个对象。{\End P} 中的花括号用于把多记号标签组合成一个整体。

用 amscd 排版本页开头的 f/g/α/β 可交换正方形时，代码如下。左边和右边垂直箭头的标签按上文所述放在第一个插槽，也就是左侧。

\[
\begin{CD}
  A    @>f>>    B \\
  @VV\alpha V   @VV\beta V \\
  C    @>g>>    D
\end{CD}
\]

这会得到一个以 A、B、C、D 为四角的正方形：上边是向右箭头 f，下边是向右箭头 g，左边是向下箭头 α，右边是向下箭头 β。它与 tikz-cd 示例是完全相同的图，区别只是记法使用 @ 拼写。由于 amscd 的 CD 环境是数学模式，也要把它放在陈列数学中（上面使用 \[ … \]）。

该用哪一个

这两个宏包的适用范围明显不同。amscd 的 CD 环境只处理网格状（矩形）图；AMS 手册本身也明确说它只面向“简单矩形图，没有斜向箭头或更复杂功能”。这是它最大的限制。如果需要对角箭头、曲线或复杂的多行图，amscd 画不了，就应转向 tikz-cd（或 xy 系列）。

• 需要斜向箭头或曲线 → tikz-cd。amscd 只能水平/垂直，不能倾斜。
• 想精细控制箭头头部和线型（单射 hook、满射 two heads、虚线、双线等） → tikz-cd。
• 普通矩形图足够/想减少依赖 → amscd。它不加载 TikZ，轻量且快速。
• 记法偏好：amscd 的 @>>> 写法简洁但独特；tikz-cd 的 \arrow[r, "f"] 较长，但对读者更直观。
• 输出路径：tikz-cd 在 DVI 查看器中不能正确显示，因此默认使用能生成 PDF 的引擎（pdfLaTeX 等）；amscd 没有这个限制。

经验法则是：如果论文中只是偶尔出现矩形图，amscd 已经足够，没有额外依赖，排版也快。如果图是核心内容，并且大量使用斜向映射、曲线或复杂箭头头部，就选择 tikz-cd。还要记住，对于“A → B”这样极简单的内容，往往根本不需要图式环境；使用 \xrightarrow{f}（来自 amsmath）这样的行内命令即可。