交换图 (tikz-cd / amscd)

“这个图是交换的”，也许是数学中最短却最吃重的一句话：写成等式要占好几行的内容，都收进了这一句。交换图把对象换成点、把映射换成箭头，断言的是连接同一对对象的任意两条有向路径，复合出来的映射相同。在 LaTeX 中，如今画交换图的标准做法是 \usepackage{tikz-cd}（注意环境名是不带连字符的 tikzcd）；如果只需要普通的矩形格子，AMS 的 amscd 依然管用。本页从零搭出一个交换正方形，把标签分别挂到箭头两侧，再把箭头掰弯，最后回答该加载哪一个宏包。

“图是交换的”到底断言了什么

交换的意思是：起点与终点相同的每一条有向路径，复合出来的结果都一样。取一个四角为 A、B、C、D 的正方形：上边是从 A 到 B 的 f，右边是从 B 到 D 的 β，左边是从 A 到 C 的 α，下边是从 C 到 D 的 g。说这个正方形交换，恰好就等于一条等式 β∘f = g∘α。三角形装一条等式，正方形一条，立方体六条——每个面一条——全都折进一幅画里。图越大，画面所含的信息与写成等式所需的篇幅，差距就越大。交换图不是装饰，而是记号的压缩。

这种压缩最见功力的地方是 图追踪（diagram chasing）。同调代数中五引理、蛇引理的证明，做法都是在某个角上取一个元素，沿着箭头把它推出去，在图里走来走去。交换性正是那条规则：这趟行走的每一步，两条路都会落到同一个地方。于是图不只是一幅画，还是证明推进时的棋盘。这种画法进入数学写作，始于 1945 年创立范畴论的那篇论文；那段来历以及箭头符号本身，放在箭头页里讲。

图本身就是一段陈列式公式，所以要放进 \[ … \] 或 equation 环境，让它独占一行并居中。历史上为此写过一整架宏包——xypic、diagram、kuvio 等等——但要新写文档，实际的选择只剩两个：建在通用绘图宏包 TikZ 之上的 tikz-cd，以及 AMS 的 amscd。下面依次来看。

\usepackage{tikz-cd} 与 tikzcd 环境：一个连字符的陷阱

在导言区写 \usepackage{tikz-cd}，正文里用 \begin{tikzcd} … \end{tikzcd} 包住图。宏包名带连字符，环境名不带。 弄反了就会得到 ! LaTeX Error: File 'tikzcd.sty' not found.；只写环境却忘了加载宏包，则会看到 ! LaTeX Error: Environment tikzcd undefined.。若已经加载了 TikZ，用 \usetikzlibrary{cd} 也能得到同样的东西。CTAN 上的现行版本是 1.0（2021 年 5 月 4 日），由 Augusto Stoffel 维护。箭头端点作为独立的库一同发布，形状是按 Computer Modern 字体中的箭头绘制的——正因如此，图里的箭头看上去才不像是从别的字体借来的。

tikzcd 的内容写法与 tabular 或 matrix 完全相同：用 & 分隔单元格，用 \\ 换行。每个单元格成为图中的一个节点，内容自动以数学模式排版，因此不需要 $。在单元格里加上 \arrow，就会长出一根箭头；短别名 \ar 是同一个命令。箭头写在它 出发的那个单元格 里，目标由方括号中的 方向键 给出：r 右、l 左、u 上、d 下。它们可以连成字符串——[rd] 斜着指向右下，[rr] 够到隔一格的位置。一个单元格想发出多少根箭头都可以。

\usepackage{tikz-cd}   % package has a hyphen; environment does not
\[
\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "\alpha"'] & B \arrow[d, "\beta"] \\
  C \arrow[r, "g"']                     & D
\end{tikzcd}
\]

这就是交换正方形。A、B、C、D 分列四角；上边是向右的 f，下边是向右的 g，左右两边分别是向下的 α 和 β。& 分列，\\ 分行，所以骨架不过是 A & B \\ C & D 这几个字符。箭头只是事后插进骨架里的注记，对象的位置完全不受箭头写法的影响——这正是 tikzcd 设计中最舒服的一点。

把标签放在箭头上方还是下方："f" 与 "f"' 的区别

在选项中写一个 带引号的字符串 就得到标签，在右引号后紧跟一个 撇号 ' 就把它移到另一侧。定位的规则不是“上或下”，而是 相对前进方向的左侧。对向右的箭头来说，左侧就是上方——所以 \arrow[r, "f"] 把 f 放上方，\arrow[r, "f"'] 放下方。对向下的箭头来说，左侧就是左边——所以 \arrow[d, "\alpha"] 把 α 放左边，\arrow[d, "\alpha"'] 放右边。不必死记四种情况，“前进方向的左侧”这一条规则就能解释全部。

一根箭头可以带任意多个标签，每个标签还能有自己的选项。"\phi" near start 靠近起点，"\eta" near end 靠近终点，而 "h" description 则把标签 压在箭头上，用背景色把线条挖空——短箭头要配长名字时，这是通行做法。若标签正文或其选项中含逗号，就用花括号保护起来："{(x,y)}"。由于内部是数学模式，要写普通词句就得用 amsmath 的 \text{…}。

\[
\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, "\phi" near start, "\psi"', "\eta" near end] & B \\
  X \arrow[r, "h" description] \arrow[rd] & Y \\
                                          & Z
\end{tikzcd}
\]

让箭头弯曲，以及在同一对对象之间画两根

用 bend left 和 bend right，需要指定角度就写成 bend left=25。要弯曲的理由几乎总是同一个：同一对对象之间有两个映射。伴随、同伦等价、余等化子的那对映射，都需要两根箭头；直着画就会互相压住，看上去只有一根。弯一下，两根就都读得出来。若只想让它们平行错开而不弯曲，shift left 与 shift right（默认 0.56ex）更合适，它们把直箭头整体往侧面挪。照例，“左”始终相对于前进方向，所以 bend left 是朝箭头自身的左侧鼓出去。

在立体图中——把三维立方体压平到纸面上——远处的棱会与近处的棱交叉。给箭头加上 crossing over，就会先在它下面画一条背景色的粗线，于是它看起来从前面通过。箭头是 按书写顺序绘制 的，所以当应当被压在下面的那根先出现时，就从后面的单元格反向指定，例如 from=uu，以此调整绘制次序。立方体图能不能画好，全看是否知道这两点。

\[
\begin{tikzcd}
  A \arrow[r, bend left=25, "f"] \arrow[r, bend right=25, "g"'] & B
\end{tikzcd}
\qquad
\begin{tikzcd}
  A \arrow[dr] & B \arrow[dl, crossing over] \\
  C            & D
\end{tikzcd}
\]

线型和箭头端点同样只要在 \arrow 的选项里加键就能切换。命名分两路：一路是 hook、two heads 这样 描述形状的简短名字，另一路是把现成的 LaTeX 命令 去掉反斜杠 得到的名字，例如 dashrightarrow。知道第二条约定，就能猜出键名而不必去查。键还能叠加：\arrow[r, tail, two heads, dashed] 一次就画出带尾、双头且为虚线的箭头。常用的键汇总如下。

把同构符号作为标签放到箭头上也是常见写法：\arrow[r, dashed, "\simeq"] 会在虚线箭头上方放一个 ≃（用 \sim 同理）。而由于 tikz-cd 建在 TikZ 之上，它可以直接接受 TikZ 自己的键——color=…、dotted、in=…/out=… 等等。它的表达范围实际上覆盖了整个 TikZ；反过来说，卡住的时候要翻的手册可能不是 tikz-cd 的，而是 TikZ 的。

调整间距，并给拉回方块打上角标

间距在环境的可选参数中设定：\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]。既接受尺寸（如 2em），也接受名称（tiny、small、large、huge）；若要同时设置行列，就用 sep。只想把带长标签的那个方向拉宽，这种需求相当常见，所以这两个键值得记住。

标记拉回（纤维积）方块的那个小角标 ⌜ 并没有专门的键。通行做法是 给一根隐形箭头挂标签：\arrow[rd, phantom, "\ulcorner", very near start]。phantom 抹掉箭头，留下的标签就落在左上角内侧（若是推出，则把 \lrcorner 放到靠右下的位置）。这里有个坑：\ulcorner 不是 LaTeX 标准符号，而是来自 AMSFonts，忘了 \usepackage{amssymb} 就会以 ! Undefined control sequence. 中断。另外，phantom 箭头上的标签会居中对齐并按 \textstyle 原尺寸排版，想让它小一些就要显式加 \scriptstyle。

\usepackage{amssymb}   % \ulcorner comes from AMSFonts, not core LaTeX
\[
\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=large]
  P \arrow[r, "p"] \arrow[d, "q"'] \arrow[rd, phantom, "\ulcorner", very near start]
    & X \arrow[d, "f"] \\
  Y \arrow[r, "g"'] & Z
\end{tikzcd}
\]

什么时候 amscd 就够用：CD 环境

当图是没有斜向箭头的矩形格子，而你又不想把 TikZ 拖进编译流程时，amscd 正合适。\usepackage{amscd} 只带来一样东西：CD 环境。它属于 amsmath 套件，现行版本为 v2.1（2017 年 4 月 14 日），除 amsgen 外别无依赖。有意思的是它自己的文档：先说明这是在复现 AMS-TeX 2.x 的交换图功能，接着明确写道只支持简单的矩形图，没有斜向箭头或更复杂的功能，然后补上一句“许多用户改用更强大的图式宏包会更合适”，还点名了 diagram、xypic 和 kuvio。会在开篇就把读者送去别处的宏包，并不多见。

内容与 tikz-cd 一样是由 & 和 \\ 组成的矩阵，但所有箭头都写成以 @ 开头的特殊记号。水平方向，@>>> 向右、@<<< 向左；垂直方向，@VVV 向下（V 取自 vertical）、@AAA 向上（把 A 看作朝上的箭头端点）。双线等号水平为 @=，垂直为 @|。不需要箭头的网格点放上“空箭头”@.，以保持列对齐。水平箭头写在同一行两个对象之间，垂直箭头写在对象正下方那一行。

标签夹在构成箭头的字符 之间。这里有一条事实，能一口气解释 amscd 标签的全部行为：按 AMS 的说明，第一个 > 与第二个 > 之间的内容排成 上标，第二个与第三个之间的内容排成 下标。所以 @>f>> 把 f 放上方，@>>g> 把 g 放下方，@>f>g> 则上下各一个。标签之所以显得小，原因也在这里：amscd 的箭头实质上就是 一个带上下标的、极宽的关系符。垂直箭头遵循同一规则，只是标记出现在左右两侧——@VfVV 把 f 放在向下箭头的左边，@VVfV 放在右边。

\usepackage{amscd}
\[
\begin{CD}
  A            @>f>>      B \\
  @V\alpha VV              @VV\beta V \\
  C            @>>g>      D
\end{CD}
\]

这与 tikz-cd 的例子是同一个正方形。左边用 @V\alpha VV 把 α 放在箭头左侧，右边用 @VV\beta V 把 β 放在箭头右侧，让两个标签都朝正方形外侧。下边写作 @>>g>，所以 g 在箭头下方。CD 环境同样是数学模式，因此和 tikz-cd 一样要放进陈列式公式里。下面是 AMS 手册中的例子，它假定 \End 已被定义为算子名（\operatorname 那一类）。

% from the AMS amscd manual; \End must be defined as an operator name
\[
\begin{CD}
  S^{{\mathcal{W}}_\Lambda}\otimes T   @>j>>   T \\
  @VVV                                 @VV{\End P}V \\
  (S\otimes T)/I                       @=      (Z\otimes T)/J
\end{CD}
\]

第一行从左侧对象画一根箭头到右侧的 T，上方是 j。中间一行生成两根垂直箭头：左列无标签，右列在箭头右侧写 End P。最后一行用 @= 把两个对象以双线相连。{\End P} 的花括号用于把多记号的标签捆成一个整体。另外，如果你想在 amscd 的框架内用上粗箭头、虚线箭头、双向箭头或颜色，扩展宏包 amscdx（v2.2x，2019 年）正好补上这些——但 只能画矩形的限制依然保留。

tikz-cd 与 amscd 该如何取舍

判断几乎只归结为一个问题——你需要斜向箭头吗？ 需要，amscd 就出局。若只要矩形格子，amscd 依赖更轻、写起来也更短。下面是把这一个问题拆得细一点。

• 需要斜向箭头或曲线 → tikz-cd。amscd 只有水平和垂直，倾斜不是难看，而是根本画不出来。
• 想精细控制箭头端点与线型（单射 hook／tail、满射 two heads、虚线、双线） → tikz-cd。
• 普通矩形图已足够，且希望依赖保持轻量 → amscd。不加载 TikZ，排版更快，导言区也更短。
• 记法偏好：amscd 的 @>f>> 简短却独特；tikz-cd 的 \arrow[r, "f"] 更长，但半年后回头看仍读得懂。
• 输出路径：tikz-cd 的图在 DVI 查看器中无法正确显示，需要 pdflatex、lualatex、xelatex 这类直接输出 PDF 的引擎，或者走 DVI 转 PDF／PS 的流程。amscd 没有这个限制。
• 到底需不需要图：只有两个对象、一根箭头时，在正文里写 amsmath 的 \xrightarrow{f} 就够了。

最后两条提醒，供接手旧文档时参考。tikz-cd 里仍保留着早于引号语法的写法 \arrow[选项]{方向}{标签}，例如 \arrow{r}{f}，出于向后兼容至今可用。还有一组简写命令 \rar、\dar、\uar、\lar（以及 \drar 之类的斜向版本），其中 \rar 就等于 \arrow{r}。新写文档时两者都建议避开；一路只用 \arrow[r, "f"]，是在替将来的自己省事。