定界符 (括号)

LaTeX 里没有「括号」这个概念，只有一张 定界符（delimiter）表。只有当字体为某个字符准备了纵向拉伸用的部件，它才会出现在那张表上；把表外的字符放在 \left 后面，TeX 会立刻回答 ! Missing delimiter (. inserted). 换句话说，能用哪些括号不取决于喜好，而取决于字体。本页用来查这张表上都有什么——圆括号、方括号、花括号、尖括号 \langle，绝对值的 | 与 \lvert，向下取整与向上取整的 \lfloor、\lceil，直到那些「怎么找也找不到」的双方括号 ⟦ ⟧ 和角标记 ⌜ ⌝。至于用 \left/\right 还是 \big 系列让括号贴合内容，那是数学页面的职责。

! Missing delimiter (. inserted).——哪些字符才能当括号

这个错误的意思是：\left 或 \right 后面出现了不是定界符的东西。在 TeX Live 2024 上编译 $\left\alpha x \right\alpha$，这一行会出现两次。原因看内核的声明就明白了。定界符的定义形式是 \DeclareMathDelimiter{命令}{类}{小号字体}{位置}{大号字体}{位置}——它 同时指明常规尺寸下使用的字形，以及可拉伸部件的所在。fontmath.ltx 中的原文是：\DeclareMathDelimiter{\langle}{\mathopen}{symbols}{"68}{largesymbols}{"0A}。\alpha 没有这样的声明，自然也就无从拉伸。

这种「两段式」结构解释了本页余下的一切。只有像样的小号形式、没有大号形式的符号（如 < 或 \mid）不能跟在 \left 之后；反过来，只有大号形式的符号（下文的 \lgroup）直接写在普通公式里则什么都不显示。本页各表的第一列还悄悄携带另一项性质：声明中给出的类。\langle 是 \mathopen（开），\rangle 是 \mathclose（闭），| 是 \mathord（普通符号）。这一差别决定了前后的间距。此外，当你不想在某一侧画出括号时使用的 空定界符 . 也属于这张表；\left. 的用法详见相关页面。

% a delimiter names a small glyph AND the growable pieces
% \DeclareMathDelimiter{\langle}{\mathopen}{symbols}{"68}{largesymbols}{"0A}
\[
  \langle a, b \rangle
  \qquad
  \left\langle \frac{a}{b} \right\rangle
\]
% $\left\alpha x\right\alpha$  ->  ! Missing delimiter (. inserted).

( [ \{ \langle——四种基本括号，以及为什么不能打 <

圆括号 ( ) 和方括号 [ ] 可以直接从键盘输入，花括号却不行。{ 和 } 在 LaTeX 中是 用于给参数分组的保留字符，裸写不会出现在页面上，要写成 \{ 和 \}。尖括号更麻烦：键盘上的 < > 是 不等号（\mathrel），不是括号。内积与 bra-ket 记法要用 \langle（⟨）和 \rangle（⟩）。名字较长的 \lbrack、\rbrack、\lbrace、\rbrace 是输出与 [ ] \{ \} 相同字符的别名；在宏参数里，裸写的 [ 可能被当成可选参数，这时它们就派上用场。若已载入 mathtools，\lparen、\rparen 同样可用。

在正文（文本模式）里排尖括号还有一个陷阱。pdfLaTeX 的默认编码 OT1 中，< 与 > 的位置上放的是 ¡ 和 ¿。在 TeX Live 2024 上把 A <x> B 写进正文并编译，从 PDF 里抽出来的字符串是 A ¡x¿ B。西班牙语倒置标点凭空冒出来的那个著名 bug，原因就在这里。有两种解决办法：载入 \usepackage[T1]{fontenc}，把 < > 放回正确位置；或者按语义使用 \textless、\textgreater（不等号）或 \textlangle、\textrangle（真正的尖括号 〈 〉）。后一对属于 TS1，但自 2020 年起已在内核中，无需额外宏包。

| \vert \mid \Vert \| \lvert——一根竖线为何有六种写法

看着一样，这六个其实分三组。先看字形。 在 fontmath.ltx 中，|、\vert 以及下文的 \arrowvert 都指向同一个位置（cmsy 的 "6A），实测三者宽度同为 2.77779pt。\|、\Vert、\Arrowvert 同样共用 "6B，宽 5.00002pt。也就是说，写 \| 还是 \Vert，输出一个字符都不会变。再看类。 它们全是 \mathord（普通符号），既不是开也不是闭。amsmath 的 \lvert/\rvert 与 \lVert/\rVert 用的是同样的字形，但 赋予了开、闭两种类，绝对值和范数需要的正是这一点。

第三组只有 \mid。 它的不同不在字形而在类：它被声明为 \mathrel（关系符）。集合的内涵表示法「满足条件的那些 x」中，那根竖线不是括号，而是表示「使得」的关系符，所以 \mid 才是正确选择。差别可以量出来：在 TeX Live 2024 上，$\{x \mid x>0\}$ 宽 48.09702pt，而 $\{x | x>0\}$ 与 $\{x \vert x>0\}$ 都是 42.5416pt。5.55542pt 的差 正是关系符两侧各 5 mu 的间距。用裸 | 写出来的集合看着特别挤，原因就是少了这段间距。

\usepackage{amsmath}   % \lvert \rvert \lVert \rVert
\[
  \lvert x \rvert \;=\; \lvert -x \rvert,
  \qquad
  \lVert v \rVert \;=\; \sqrt{\langle v, v \rangle},
  \qquad
  \{\, x \mid x > 0 \,\}
\]

floor 与 ceiling：\lfloor、\lceil，以及名字里 l 和 r 的含义

向下取整 ⌊x⌋ 用 \lfloor 与 \rfloor，向上取整 ⌈x⌉ 用 \lceil 与 \rceil，四者都属 LaTeX 标准。名字开头的 l 与 r 代表 left（开）和 right（闭），这条规则在 \lbrack/\rbrack、\langle/\rangle、\lvert/\rvert 上同样贯彻。记住 只有下端有角的是 floor，只有上端有角的是 ceiling，字形也就不会弄混。这两个记号由 Kenneth E. Iverson 引入，出处是他 1962 年的著作 A Programming Language。在此之前，[x] 承担向下取整之意，却没有与之对应的向上取整符号，而且 [x] 与普通方括号混淆——把字形拆成上下两半，正是这一记法的发明所在。

\[
  \lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil,
  \qquad
  \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor
  \qquad
  \left\lceil \log_2 n \right\rceil
\]

箭头和斜线也是定界符：\uparrow、/、\backslash

定界符表上并不只有括号。六个竖向箭头——\uparrow（↑）、\downarrow（↓）、\updownarrow（↕），以及双线的 \Uparrow（⇑）、\Downarrow（⇓）、\Updownarrow（⇕）——在 fontmath.ltx 中以 \DeclareMathDelimiter 声明，放在 \left/\right 之后会伸到内容的高度。不过它们的类是 \mathrel（关系符），在公式中正常使用时表现为箭头。同一个命令，视所在位置既可以是箭头，也可以是括号。 它们常用于在矩阵旁标出范围，或代替表示极限的竖线。

斜线也住在同一张表上。正斜线 / 直接输入；反斜线写作 \backslash（\），因为裸写的 \ 是换行命令。它们用于商集合 G \backslash H，或在 \left. … \right/ 中构成沿对角伸缩的分隔符。表示集合差的二元运算符 \setminus 看着相似，却是另一个命令，类也不同（\mathbin）——详见集合与逻辑符号页。

写 $\lgroup$ 什么都不出来——只有放大后才现身的括号

\lgroup、\rgroup、\lmoustache、\rmoustache、\bracevert 这五个 根本没有常规尺寸的字形。开头看到的声明中，它们的「小号」位置指向的不是普通字体里的某个字符，而是 用来拼装大号符号的部件。在 TeX Live 2024 上验证，症状十分明显：$\lgroup x \rgroup$ 占 23.49307pt 宽（而 $( x )$ 为 13.49307pt），但 pdftotext 只抽出一个字符 x。左右两个括号落在 Unicode 私用区（U+F8F3、U+F8FE），在页面上也不像括号。$\lmoustache x \rmoustache$ 更甚，抽取结果是 zx{——两个部件的位置编号被直接读成了 z 和 {。

结论很简单：这五个必须与 \left/\right 或 \bigl/\Bigl … 成对使用。 \lgroup、\rgroup 是角更尖、笔画更重的圆括号，在大号行间公式中很好看。\lmoustache、\rmoustache 相当于大花括号的上半部和下半部，用于分情况表格逐行分隔之类的特殊场合。\bracevert、\arrowvert、\Arrowvert 本身就是 把花括号和箭头纵向拉长所用的直线部件。出于同样的原因，这三个也最好不要直接写在行内。

% these have no text-size glyph — always pair them with \left/\right or \big
\[
  \left\lgroup \frac{a}{b} \right\rgroup
  \qquad
  \left\lmoustache \frac{a}{b} \right\rmoustache
\]
% $\lgroup x \rgroup$ alone prints no brackets at all

⟦ ⟧ 与 ⌜ ⌝——标准里没有的括号在哪个宏包里

指称语义中表示 ⟦M⟧ 的 双方括号来自 stmaryrd 的 \llbracket、\rrbracket；证明论与蒯因引号所用的 角标记 ⌜ ⌝ 来自 amssymb 的 \ulcorner、\urcorner（下方一对是 \llcorner、\lrcorner）。二者都不在 LaTeX 标准中，不载入宏包就写会得到 ! Undefined control sequence. 如果在 XeLaTeX/LuaLaTeX 上使用 unicode-math，双方括号的名字改为 \lBrack、\rBrack（U+27E6 / U+27E7）。

这里有一个不翻宏包源码就发现不了的陷阱：即使在同一个宏包里，也有的符号声明为定界符，有的不是。 在 stmaryrd.sty 中，\llbracket、\rrbracket 是 \DeclareMathDelimiter，而 \llparenthesis、\rrparenthesis（⦇ ⦈）以及 \Lbag、\Rbag（⟅ ⟆）是 \DeclareMathSymbol——也就是 固定尺寸的符号。在 TeX Live 2024 上编译 $\left\llparenthesis \frac{a}{b} \right\rrparenthesis$，理所当然会得到 ! Missing delimiter (. inserted). 记住「需要伸缩时 \llbracket 可用、\llparenthesis 不可用」，能少踩一次坑。

最后说一句留在 PDF 里的东西。从含 \langle 的 PDF 中抽取文字，得到的是 U+27E8（MATHEMATICAL LEFT ANGLE BRACKET），复制后仍能粘贴为尖括号。而 stmaryrd 的 ⟦ ⟧ 直接暴露其专用字体的位置编号：在 TeX Live 2024 上，pdftotext 会把它们抽成 J 和 K。当审稿人要从 PDF 里复制公式来讨论时，这一差别就很要紧；因此大量使用双方括号的论文，值得考虑改用 Unicode 引擎加 unicode-math。

\usepackage{amssymb}    % \ulcorner \urcorner \llcorner \lrcorner
\usepackage{stmaryrd}   % \llbracket \rrbracket \Lbag \Rbag
% ...
\[
  \llbracket M \rrbracket_\rho
  \qquad
  \left\llbracket \frac{a}{b} \right\rrbracket
  \qquad
  \ulcorner \varphi \urcorner
\]