Brüche, Wurzeln und Exponenten

Brüche, Wurzeln und Binomialkoeffizienten sind typische Elemente des mathematischen Satzes, die vertikal über die Buchstabenhöhe hinauswachsen. Der grundlegende Befehl \frac passt seine Größe automatisch daran an, wo er steht (im Fließtext oder auf einer eigenen Display-Zeile). Oft liefert er aber nicht genau das gewünschte Aussehen; dann kommen \dfrac, \tfrac und \cfrac aus amsmath, die \binom-Familie sowie die schrägen Brüche \nicefrac / \sfrac ins Spiel. Diese Seite ordnet der Reihe nach, was jeder Befehl ausgibt, welches Paket er braucht und wann man welchen wählt.

Der Grundbruch \frac

Der Grundbefehl für einen Bruch ist \frac{Zähler}{Nenner}. Das ist eine Funktion von core LaTeX und funktioniert ohne amsmath. Das erste Argument ist der Zähler, das zweite der Nenner; LaTeX zieht dazwischen einen waagerechten Strich (den Bruchstrich) und setzt den Zähler darüber, den Nenner darunter. \frac{1}{2} ergibt zum Beispiel ein Halb: 1 oben und 2 unten, getrennt durch den Strich.

Eine wichtige Eigenschaft von \frac ist, dass seine Größe automatisch vom umgebenden Kontext (dem Stil) abhängt. In Inline-Mathematik im Text (Textstil) werden Zähler und Nenner klein und kompakt gesetzt, damit die Zeilenhöhe kaum gestört wird. Setzt du denselben Ausdruck mit \[ … \] auf eine eigene Display-Zeile (Display-Stil), erscheint er groß und mit mehr Raum. Das Beispiel unten zeigt, wie sich dasselbe \frac{a+b}{c} inline und im Display unterscheidet.

本文中では小さく組まれる: $\frac{a+b}{c}$ のように。

\[
  \frac{a+b}{c}
\]

Die erste Form erscheint als zurückhaltender Bruch, der in die Zeile passt; die zweite als großer Bruch zentriert auf eigener Zeile. Brüche können auch verschachtelt werden: Schreibst du im Zähler oder Nenner ein weiteres \frac, entsteht ein mehrstufiger Bruch. Beachte aber, dass ein innerer verschachtelter Bruch in einem noch kleineren Stil gesetzt wird als der äußere; je tiefer die Verschachtelung, desto schwerer wird er lesbar.

\[
  \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}
\]

Hier wird ein zweistufiger Bruch gesetzt, bei dem im Nenner ein weiterer Bruch \frac{1}{x} steht. Beachte, dass das innere \frac{1}{x} eine Stufe kleiner gesetzt wird als der äußere Bruch. Wenn in einer tiefen Verschachtelung jede Ebene gleich groß bleiben soll, verwende \dfrac (im nächsten Abschnitt) oder den speziellen Kettenbruchbefehl \cfrac.

Die Größe erzwingen: \dfrac und \tfrac

Die automatische Größenwahl von \frac ist manchmal ungünstig. Vielleicht soll ein Bruch im Fließtext in voller Display-Größe erscheinen, statt klein zusammengedrückt zu werden; oder umgekehrt soll nur ein Bruch in einer abgesetzten Formel kompakt bleiben. Für diesen Wunsch, „den Stil festzulegen“, gibt es \dfrac und \tfrac aus dem amsmath-Paket (beide benötigen \usepackage{amsmath}).

Nach dem amsmath-Benutzerhandbuch ist \dfrac eine praktische Abkürzung für {\displaystyle\frac ... } und \tfrac für {\textstyle\frac ... }. \dfrac{…}{…} wird also unabhängig von seiner Position immer in Display-Größe (als großer Bruch) gesetzt, während \tfrac{…}{…} immer in Textgröße (als kleiner Bruch) gesetzt wird. Die Argumente funktionieren genau wie bei \frac: zuerst der Zähler, dann der Nenner.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
本文中でもフルサイズの分数: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$。

\[
  \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}
\]

Das inline gesetzte \dfrac{\partial f}{\partial x} erscheint auch innerhalb einer Textzeile als partieller Ableitungsbruch in voller Display-Größe (und vergrößert entsprechend die Zeilenhöhe). Im Display-Beispiel hält die Verschachtelung von \dfrac den äußeren und inneren Bruch gleich groß; das ist besser lesbar als verschachteltes \frac, bei dem der innere Bruch schrumpft. Als grobe Wahlhilfe gilt:

• \frac: die normale Wahl, wenn die natürliche Größe dem Kontext folgen soll.
• \dfrac: wenn ein Bruch im Fließtext in voller Größe statt zusammengedrückt erscheinen soll oder alle Ebenen einer Verschachtelung gleich groß bleiben sollen.
• \tfrac: wenn nur ein Bruch in einer abgesetzten Formel klein und kompakt gesetzt werden soll, etwa fast wie ein Exponent oder Index.

Kettenbrüche mit \cfrac

Wenn du einen Kettenbruch, bei dem im Nenner immer wieder ein weiterer Bruch steht, durch Verschachteln von \frac setzt, schrumpft die Schrift auf jeder Ebene, bis sie unlesbar wird. Der Befehl \cfrac{Zähler}{Nenner} aus dem amsmath-Paket ist genau dafür gedacht. Er stapelt jede Ebene einheitlich in Display-Größe, sodass die Größe auch bei tiefer Verschachtelung nicht wechselt. Für Kettenbrüche solltest du immer diesen Befehl verwenden.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}
\]

Dies setzt den Kettenbruch 1 + (ein Bruch …), wobei jede \cfrac-Ebene gleich groß vertikal gestapelt wird. Das abschließende \cdots ist die zentrierte Drei-Punkte-Ellipse (…) für „und so weiter“. Das steht im klaren Gegensatz zu derselben Konstruktion mit \frac, bei der jede innere Ebene kleiner würde.

Der Befehl \cfrac nimmt ein optionales Ausrichtungsargument. Nach dem amsmath-Benutzerhandbuch wird die links- oder rechtsbündige Platzierung eines Zählers durch \cfrac[l] oder \cfrac[r] statt \cfrac angegeben. [l] setzt den Zähler linksbündig, [r] rechtsbündig; ohne Angabe ist er zentriert (Voreinstellung). Da die Breite des Nenners in einem Kettenbruch von Ebene zu Ebene wechselt, ist dieses Argument nützlich, wenn die Zähler horizontal ausgerichtet werden sollen.

\[
  \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{2}}}
\]

In diesem Beispiel wird jeder Zähler 1 bündig am linken Ende seines Bruchstrichs gesetzt (standardmäßig stünde er zentriert).

Binomialkoeffizienten mit \binom

Ein Binomialkoeffizient (die Anzahl der Kombinationen), also „k aus n wählen“, wird als vertikaler Stapel ohne Strich in runden Klammern geschrieben. Der Befehl \binom{n}{k} aus dem amsmath-Paket erzeugt ihn: n oben, k unten, ohne Bruchstrich gestapelt und von passend großen Klammern ( ) umgeben. Anders als bei \frac wird kein Bruchstrich gezogen.

So wie \frac die Varianten \dfrac / \tfrac hat, besitzt auch \binom Größenvarianten: \dbinom{n}{k} wird immer in Display-Größe gesetzt, \tbinom{n}{k} immer in Textgröße. Beide benötigen amsmath.

% プリアンブルで: \usepackage{amsmath}
\[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
\]

Dies ist eine Gleichung mit einem Binomialkoeffizienten links (n über k) in großen runden Klammern und rechts einem Bruch aus Fakultäten (n! geteilt durch k!(n−k)!). Das \, auf der rechten Seite ist der schmale Abstandsbefehl, der zwischen den Fakultäten einen kleinen Abstand einfügt.

In älteren Quellen und im plain-TeX-Stil wird ein Binomialkoeffizient manchmal als {n \choose k} geschrieben. Das nutzt TeXs primitive verallgemeinerte Brüche; heute ist jedoch amsmaths \binom der Standard. Die verwandten Befehle \over, \atop und \above (verallgemeinerte Brüche mit Strich / ohne Strich / mit angegebener Strichstärke) erzeugen nach dem Laden von amsmath ebenfalls Warnungen, und der Leitfaden empfiehlt stattdessen \frac oder \genfrac. \genfrac{linke-Begrenzung}{rechte-Begrenzung}{Strichstärke}{Stil}{Zähler}{Nenner} ist amsmaths allgemeiner Befehl, um das Aussehen solcher Brüche und Binomialkoeffizienten gemeinsam zu steuern; \frac, \binom und \cfrac bauen alle auf diesem Mechanismus auf. Das vierte Argument (Stil) ist eine ganze Zahl 0–3 für \displaystyle, \textstyle, \scriptstyle beziehungsweise \scriptscriptstyle (leer lassen, um dem Kontext zu folgen). \binom ist zum Beispiel intern als \genfrac{(}{)}{0pt}{}{…}{…} definiert und erhält sein Aussehen ohne Strich, indem das dritte Argument, die Strichstärke, auf 0pt gesetzt wird.

Wurzeln: \sqrt und n-te Wurzeln

Eine Quadratwurzel setzt man mit \sqrt{Inhalt}. Das ist eine Funktion von core LaTeX; amsmath ist nicht nötig. Es erscheint ein Wurzelzeichen (√) mit einem waagerechten Strich (vinculum), der vom rechten oberen Ende aus den gesamten Inhalt überdeckt. Wurzelzeichen und Strich passen sich automatisch an Höhe und Breite des Inhalts an, sodass \sqrt{x} und \sqrt{x^2 + y^2} jeweils genau passend gesetzt werden.

Eine n-te Wurzel (etwa eine Kubikwurzel) schreibst du als \sqrt[n]{Inhalt}, wobei der Index als optionales Argument in eckigen Klammern steht. Ein kleiner Index n erscheint links oben am Wurzelzeichen. Eine Kubikwurzel ist zum Beispiel \sqrt[3]{x+y}: eine kleine 3 links oben am Wurzelzeichen, mit x+y unter dem Strich.

\[
  \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sqrt[3]{x+y}, \qquad \sqrt[n]{a}.
\]

Die Ausgabe zeigt, getrennt durch \qquad (einen breiten Abstand), eine Quadratwurzel mit x²+y² unter dem Wurzelstrich, eine Kubikwurzel mit 3 links oben und eine n-te Wurzel mit n links oben. Wenn du Position oder Größe des Wurzelindex feinjustieren musst, bietet amsmath auch Befehle der Form \sqrt[\leftroot{…}\uproot{…}n]{…}; für normale Anwendungen reicht die Standardposition.

Exponenten (Potenzen) setzen

Exponenten (Potenzen) werden als Hochstellungen mit dem Caret ^ gesetzt. x^2 bedeutet „x zum Quadrat“, mit einer kleinen 2 rechts oben an x. Das ist eine core-LaTeX-Funktion; kein Paket ist nötig. Wenn der Exponent mehr als ein Zeichen hat, gruppiere ihn immer in Klammern: x^{10} ergibt korrekt „x hoch zehn“, während x^10 unbeabsichtigt als „x hoch eins“ gefolgt von einer separaten 0 gesetzt wird.

Exponenten, Brüche und Wurzeln treten oft zusammen auf; mit den bisher behandelten Befehlen sieht eine einzelne Formel dann so aus. Den Gültigkeitsbereich mit Klammern ausdrücklich zu machen, ist der Schlüssel zu korrektem Satz.

\[
  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Dies ist die quadratische Lösungsformel. Sie wird als großer Bruch zentriert auf eigener Zeile gesetzt, mit „−b ± √(b²−4ac)“ im Zähler und „2a“ im Nenner. Das b^2 unter der Wurzel ist ein hochgestelltes Quadrat, und \pm ist das Zeichen „±“ (plus/minus). Details dazu, wie Hoch- und Tiefstellung an denselben Buchstaben gesetzt werden (z. B. x^2_i), sowie zur Feinanpassung von Abständen findest du auf der eigenen Seite „Indizes und Abstände“.

Schrägbrüche: \nicefrac und \sfrac

Manchmal soll „ein Halb“ im Fließtext nicht als vertikaler Stapel, sondern klein und schräg wie a/b erscheinen (etwa bei einer Einheit wie „1/2“). Dafür kannst du \nicefrac{a}{b} aus dem Paket nicefrac verwenden. Es setzt Zähler und Nenner diagonal versetzt um einen Schrägstrich und passt in die Zeile, ohne die Zeilenhöhe zu stören. Dieser Befehl ist nicht standardmäßig verfügbar; in der Präambel braucht es \usepackage{nicefrac}.

Eine neuere und empfohlene Alternative ist \sfrac{a}{b} aus dem Paket xfrac. Schon CTANs Beschreibung von nicefrac sagt, dass die Funktionen von nicefrac in saubererer Form vom Paket xfrac bereitgestellt werden. \sfrac funktioniert im Text- wie im Mathematikmodus und passt sein Aussehen sorgfältiger an die Schrift an. Für neue Dokumente ist \usepackage{xfrac} mit \sfrac die verlässlichere Wahl.

% nicefrac の場合: \usepackage{nicefrac}
所要時間は約 \nicefrac{3}{4} 時間です。

% xfrac の場合（推奨）: \usepackage{xfrac}
およそ $\sfrac{1}{2}$ に相当します。

In beiden Fällen werden 3/4 und 1/2 als kleine Schrägbrüche gesetzt, die in die Zeilenhöhe des Textes passen. Eine nützliche Aufteilung: \frac oder \dfrac für Brüche, die hoch gesetzt werden sollen, und \sfrac (oder \nicefrac) für Brüche, die klein und schräg in der Zeile erscheinen sollen.