Mengen- und Logiksymbole

Die Symbole der Mengenlehre und Logik - Quantoren wie ∀ und ∃, die Junktoren ∧, ∨, ¬, Mengensymbole wie ∈, ⊂, ∪ und Beweiszeichen wie ⊢, ⊨, ∴, ∵ - werden im Mathematikmodus als Befehle wie \forall, \in und \cup eingegeben. Drei Dinge sollte man sich merken: Die meisten sind in Standard-LaTeX verfügbar; \land/\lor sind Aliase von \wedge/\vee; und einige, darunter \nexists, \complement und \therefore, benötigen das Paket amssymb. Diese Seite erklärt die Eingabe, sammelt Quantoren und Logik, Mengen, Beweiszeichen (Turnstiles) und Schlussfolgerungszeichen in Tabellen und klärt verwechselbare Wahlen wie \varnothing gegenüber \emptyset.

Symbole eingeben und Pakete

Diese Symbole verwendet man im Mathematikmodus. \forall direkt im Textmodus zu schreiben führt zu einem Fehler; wechseln Sie also zuerst in den Mathematikmodus, etwa $\forall x$. Die Befehlsnamen spiegeln ihre englische Bedeutung wider: \forall, \exists, \in (element of), \subset (subset), \cup (union) und so weiter.

\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x : x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff (\forall x)\,(x \in A \Rightarrow x \in B)
\]

Hier gehören \forall, \exists, \in, \cup, \subseteq und \Rightarrow zu Standard-LaTeX und brauchen kein Zusatzpaket. Dagegen stammen \implies und \iff aus amsmath, während \nexists, \varnothing, \complement, \therefore und \because (alle unten) amssymb benötigen. In der Praxis macht das Laden von amsmath und amssymb in der Präambel jedes Symbol auf dieser Seite verfügbar.

\usepackage{amsmath}  % \implies, \iff（間隔つきの長い矢印）
\usepackage{amssymb}  % \nexists, \varnothing, \complement, \therefore, \because

In den Tabellen unten ist alles, was amssymb benötigt, mit “(ams)” markiert; unmarkierte Befehle können Sie als Standard-LaTeX ansehen. Symbole haben außerdem eine Klasse: \in und \subset sind Relationen (etwas mehr Abstand auf beiden Seiten), \cup, \cap, \land, \lor sind binäre Operatoren (symmetrischer Abstand), und \forall, \neg, \top werden als gewöhnliche Symbole gesetzt. Diese Klasse steuert den Abstand, den LaTeX automatisch einfügt.

Quantoren und logische Junktoren

Zuerst die Grundzeichen der Prädikatenlogik: der Allquantor ∀ (\forall) und der Existenzquantor ∃ (\exists), dazu das negierte “es existiert nicht” ∄ (\nexists, ams). Bei den Junktoren sind fünf grundlegend: Negation ¬, Konjunktion ∧, Disjunktion ∨, Implikation ⇒ und Äquivalenz ⇔. Für Implikation und Äquivalenz gibt es zwei Formen: \Rightarrow/\Leftrightarrow sind kurze Doppellinienpfeile, während \implies/\iff (amsmath) längere Pfeile mit größerem Abstand auf beiden Seiten sind, gut lesbar in Beweisketten, die fast wie Fließtext wirken.

Einige Hinweise. \neg und \lnot sind exakt dasselbe, und \land/\lor sind nur Aliase von \wedge/\vee (kein \amssymb nötig). Die Namen \land/\lor wirken klar logisch und passen zu Aussagenformeln; \wedge/\vee werden bevorzugt, wenn die Bedeutung nicht “Logik” ist - äußere Produkte, Meet/Join in Verbänden und Ähnliches. Die Ausgabe ist identisch, wählen Sie also nach Geschmack und Kontext. \implies/\iff sind eigentlich \Longrightarrow/\Longleftrightarrow mit einem kräftigen Abstand (einem \;) auf jeder Seite; \iff ist ein LaTeX-Kernelbefehl, den amsmath zur besseren Abstandssetzung neu definiert. Verwenden Sie den kurzen \Rightarrow und den langen \implies innerhalb eines Dokuments konsistent.

Mengensymbole

Nun zu den Mengensymbolen. Die leere Menge gibt es in zwei Formen: dem standardmäßigen \emptyset (∅) und \varnothing (∅) aus amssymb. Letzteres ist ein sauberer Kreis mit diagonaler Schräglinie, und viele bevorzugen \varnothing gegenüber dem höher wirkenden \emptyset; daher führen wir es als empfohlene Form. Elementbeziehung ist ∈ (\in) mit der Negation ∉ (\notin) und dem gespiegelten ∋ (\ni, “enthält als Element”). Inklusion reicht von echter Teilmenge ⊂ und Teilmenge-oder-gleich ⊆ bis zu den Umkehrungen ⊃ und ⊇. Mengenoperationen sind Vereinigung ∪, Schnitt ∩, Differenz ∖ (\setminus) und Komplement ∁ (\complement, ams).

Einige Empfehlungen. Für die leere Menge ist es sinnvoll, \varnothing (amssymb) als Standard zu wählen und im Dokument konsistent zu bleiben. Ob \subset “echte Teilmenge” oder “Teilmenge oder gleich” bedeutet, ist je nach Fachgebiet unterschiedlich; vermeiden Sie Mehrdeutigkeit mit ⊆ (\subseteq) oder der speziellen echten Teilmenge ⊊ (\subsetneq, amssymb). Mengendifferenz ist \setminus (∖), nicht der Divisionsschrägstrich /. \setminus ist als binärer Operator registriert, daher erhält A \setminus B den üblichen mittleren Abstand auf beiden Seiten; das ähnlich aussehende \backslash (\) ist dagegen ein gewöhnliches Symbol, sodass A \backslash B ohne Zusatzabstand gesetzt würde - wählen Sie für Mengendifferenz \setminus. Das Komplement schreibt man oft mit \complement als Hochstellung, A^\complement, aber auch \overline{A} (Balken) oder A^c sind üblich.

Beweis- und Turnstile-Symbole

Diese Zeichen stehen in Logik und Beweistheorie für “ableitbar” und “erfüllt”. ⊢ (\vdash) ist der Turnstile für syntaktische Beweisbarkeit (“Γ ⊢ φ: φ ist aus Γ beweisbar”); ⊨ (\models) ist der doppelte Turnstile für semantische Folgerung (“Γ ⊨ φ: Γ impliziert / erfüllt φ”). ⊣ (\dashv) ist ⊢ links-rechts gespiegelt und wird auch in der Notation adjungierter Funktoren verwendet. ⊤ (\top) ist Verum / größtes Element und ⊥ (\bot) ist Falsum / kleinstes Element (Top und Bottom eines Verbands oder einer Ordnung); \bot dient außerdem als Symbol für “senkrecht / orthogonal”.

Diese Zeichen gehören alle zu Standard-LaTeX; ein Zusatzpaket ist nicht nötig. \vdash und \models sind Relationen, daher erhalten sie passenden Abstand auf beiden Seiten und setzen sich natürlich in zweiseitigen Formen wie Γ \vdash φ. Beachten Sie, dass ⊤ und ⊥ gewöhnliche Symbole sind; wenn man sie wie binäre Relationen verwendet, kann der Abstand etwas eng wirken.

Schlussfolgerungszeichen (∴, ∵)

Zum Schluss zwei Zeichen, die den Fluss eines Arguments markieren. ∴ (\therefore, “daher”) leitet eine Schlussfolgerung ein, und ∵ (\because, “weil”) leitet einen Grund ein. Beide benötigen amssymb; ohne \usepackage{amssymb} in der Präambel erhalten Sie einen “undefined control sequence”-Fehler.

% プリアンブル: \usepackage{amssymb}
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore\ x = \pm 2,
  \qquad x = \pm 2 \quad \because\ x^2 = 4
\]

Da diese Zeichen als gewöhnliche Symbole gesetzt werden, erhalten sie automatisch nur wenig Abstand. Ergänzen Sie wie oben bei \therefore\ expliziten Abstand (\ oder \quad), damit sie besser lesbar sind. An der Tafel sind sie verbreitet, aber ausgearbeitete mathematische Prosa bevorzugt oft Wörter wie “therefore” und “hence”; ∴ und ∵ sollte man daher gezielt einsetzen.