Mengen- und Logiksymbole

Das ∃ für „es existiert“ ist ein um eine halbe Drehung gedrehtes großes E, das ∀ für „für alle“ ein auf den Kopf gestelltes großes A. Die Symbole der Mengenlehre und Logik, die LaTeX bereitstellt – \forall, \exists, \in, \subset, \cup, \land –, bilden kein entworfenes System, sondern eine Sammlung solcher Einfälle, die sich gehalten haben; zwischen den beiden gedrehten Buchstaben liegen achtunddreißig Jahre und zwei verschiedene Urheber. Diese Seite verfolgt diese Einfälle bis dorthin, wo sie ein Dokument noch heute etwas kosten: warum ⊂ je nach Leser zwei verschiedene Dinge bedeutet, warum \setminus und \backslash dasselbe Bild drucken und trotzdem verschieden gesetzt werden, und warum das Zeichen der leeren Menge ein dänischer Buchstabe ist.

\forall und \exists: zwei umgedrehte Buchstaben

Beide gehören zum Standard-LaTeX: \forall und \exists brauchen kein Paket, und beide sind buchstäblich gedrehte Lettern. Giuseppe Peano druckte das seitenverkehrte E für „es existiert“ 1897 im zweiten Band seines Formulaire de mathématiques – acht Jahre, nachdem er ein griechisches Epsilon für die Elementbeziehung eingesetzt hatte. Das umgedrehte A ließ weit länger auf sich warten: Es taucht erstmals in Gerhard Gentzens „Untersuchungen über das logische Schließen“ auf, Mathematische Zeitschrift 39 (1935), Seite 178. Achtunddreißig Jahre lang besaß die Logik also ein Zeichen für „es existiert“ und keines für „für alle“; die gebundene Variable wurde schlicht in Klammern geschrieben, (x). Das negierte ∄ ist noch jünger und gehört gar nicht zum LaTeX-Kern – \nexists stammt aus amssymb.

Sie alle leben im Mathematikmodus. \forall im laufenden Text sieht nicht bloß falsch aus – es bricht den Lauf mit ! Missing $ inserted. ab, weil außerhalb des Mathematikmodus überhaupt keine Abstandsregel greift. Und die Regel, die drinnen greift, lohnt einen Blick: fontmath.ltx deklariert \forall und \exists als \mathord, gewöhnliche Symbole, nicht als Relationen. Quantoren beanspruchen daher keinen eigenen Abstand, weshalb \forall x\exists y gedrängt herauskommt und sorgfältige Vorlagen \forall x\, \exists y\, P(x,y) schreiben, mit einem schmalen Abstand \, dazwischen.

% quantifiers, and a set defined by a condition
\[
  \forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0 \;
  \bigl( |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon \bigr)
\]
\[
  A \cup B = \{\, x \mid x \in A \lor x \in B \,\}, \qquad
  A \subseteq B \iff \forall x\,(x \in A \implies x \in B)
\]

\land oder \wedge, \lnot oder \neg: welcher Name?

In der Ausgabe gibt es keinerlei Unterschied, also gilt: den Namen tippen, der die Absicht ausdrückt. fontmath.ltx deklariert \DeclareMathSymbol{\wedge}{\mathbin}{symbols}{"5E} und schreibt für \land eine identische Zeile – gleiche Klasse, gleiche Schrift, gleicher Platz; ebenso für \lor/\vee ("5F) und \lnot/\neg ("3A). Keines der sechs braucht amssymb. Eingebürgert hat sich, in logischen Formeln die logischen Namen zu verwenden und die geometrischen dort, wo ∧ etwas anderes als Logik meint: \wedge für das Dachprodukt von Differentialformen, \vee für das Supremum in einem Verband. Wer im Quelltext \land liest, weiß sofort, dass „und“ gemeint war – mehr Nutzen bringt die Wahl nicht, aber solange Menschen die Datei lesen, ist dieser Nutzen echt.

\implies und \iff verdienen eine eigene Fußnote. \iff ist bereits im LaTeX-Kern als \;\Longleftrightarrow\; definiert – ein langer Doppelpfeil mit kräftigem Abstand auf beiden Seiten – und funktioniert daher ganz ohne Paket. amsmath definiert es zu \DOTSB\;\Longleftrightarrow\; um; am Abstand ändert das nichts, an \dots alles: \DOTSB kennzeichnet einen Befehl als binären Operator oder Relation, sodass ein folgendes \dots zentriert (⋯) statt auf der Grundlinie erscheint. \implies dagegen existiert nur in amsmath. Innerhalb eines Dokuments gilt: entweder das kurze \Rightarrow oder das lange \implies wählen und dabei bleiben; ein Wechsel mitten im Beweis liest sich, als bedeuteten die beiden Pfeile Verschiedenes.

\in, \notin, \ni: Elementbeziehung und die \epsilon-Falle

Das Elementzeichen ∈ begann als griechisches Epsilon: Peano verwendete ε 1889 als Abkürzung für das lateinische est, „ist“. Diese Geschichte und ihre Folge – x \epsilon A übersetzt anstandslos und druckt eine Formel ohne Abstände, weil \epsilon \mathord ist und \in \mathrel – steht auf der Seite über griechische Buchstaben in dieser Referenz. Aus derselben Deklarationstabelle folgen zwei weitere Dinge. Erstens ist \notin kein Zeichen: fontmath.ltx baut es als \mathrel{...\c@ncel\in} und legt einen kleinen Schrägstrich über \in; die Lage des Strichs wird also berechnet und nicht aus einer Schrift übernommen, und \not\in landet auf exakt derselben Breite. Zweitens trägt ∋ (\ni, „enthält als Element“) einen zweiten, auf denselben Platz deklarierten Namen: \owns. A \owns x liest sich im Satz besser als A \ni x und kostet nichts.

\subset oder \subseteq: das Zeichen mit zwei Bedeutungen

\subseteq schreiben, wenn „Teilmenge, gegebenenfalls gleich“ gemeint ist, und \subsetneq, wenn „echt kleiner“ gemeint ist. Der Grund, ⊂ zu meiden, ist nicht, dass es falsch wäre, sondern dass es auf zwei Weisen gelesen wird: In einem großen Teil der Literatur erlaubt A \subset B A = B und ist bloß eine andere Schreibung von ⊆, in einem ebenso großen Teil behauptet es A ≠ B. Beide Lesarten sind eingeführt, beide stehen in aktuellen Lehrbüchern, und keine wird sich durchsetzen. Das Paar ⊂ und ⊃ führte Ernst Schröder im ersten Band seiner Vorlesungen über die Algebra der Logik 1890 ein, für „ist enthalten in“ und „enthält“; die Frage der Striktheit spaltete sich erst im späteren Gebrauch und ist seither gespalten geblieben.

In der Praxis folgen daraus zwei Gewohnheiten. Erstens: Wird ⊂ überhaupt verwendet, sollte einmal am Anfang stehen, welche Lesart gilt – viele Bücher tun genau das. Zweitens: Wo die Striktheit das Argument trägt, gehört sie ausgeschrieben; \subsetneq (⊊) aus amssymb lässt nichts zu deuten übrig. amssymb bietet außerdem \subsetneqq (mit doppeltem Balken darunter) sowie die Formen \varsubsetneq und \varsubsetneqq, die sich nur in der Zeichnung von Schrägstrich und Balken unterscheiden; sofern kein Zeitschriftenstil eine davon verlangt, ist \subsetneq die sichere Voreinstellung. Nebenbei: Der LaTeX-Kern enthält überhaupt kein Zeichen für die echte Teilmenge – schon das sagt etwas darüber, wie diese Notation gewachsen ist.

\cup, \cap, \setminus – und was \backslash stattdessen tut

\setminus und \backslash holen dasselbe Bild aus demselben Platz derselben Schrift – Position "6E der Symbolschrift. Verschieden ist allein die Klasse, mit der sie deklariert wurden, und darin liegt die ganze Geschichte. fontmath.ltx schreibt \DeclareMathSymbol{\setminus}{\mathbin}{symbols}{"6E}, deklariert \backslash dagegen als \mathord, mit dem Quelltextkommentar, es stehe dort „für Doppelnebenklassen G\backslash H“. Setzt man A \setminus B und A \backslash B bei 10pt nebeneinander, messen die Boxen 25,03pt und 20,59pt: Die fehlenden 4,44pt sind der mittlere Abstand von 4mu, den ein binärer Operator beidseitig beansprucht. Nichts bricht ab, nichts warnt, und der Unterschied ist klein genug, um eine Korrekturrunde zu überleben – genau deshalb lohnt eine einmalige Entscheidung. Für die Mengendifferenz \setminus verwenden und \backslash den Doppelnebenklassen überlassen, für die es gedacht war.

Dieselbe Falle, eine Nummer größer, lauert in der Mengenschreibweise mit Bedingung. Auch | und \mid sind derselbe Glyph – Platz "6A – nur als \mathord bzw. \mathrel deklariert. \{x \mid x > 0\} misst 48,10pt gegenüber 42,54pt für \{x | x > 0\}, ein Unterschied von 5,56pt: der dicke Abstand von 5mu, den eine Relation beidseitig beansprucht. Der Bedingungsstrich ist eine Relation – er trennt die Variable von der Aussage über sie –, also ist \mid die richtige Wahl, während | die Menge zusammengeklebt wirken lässt. Wenn ein hoher Ausdruck die Klammern wachsen lässt, wächst der Strich mit: \left\{\, x \in X \;\middle|\; f(x) = 0 \,\right\}. Ein blankes \mid innerhalb von \left\{ ... \right\} bleibt dagegen klein, während die Klammern daran vorbeiwachsen.

% set difference and set-builder: pick the relation-class commands
\[
  A \setminus B = \{\, x \in A \mid x \notin B \,\}
\]
% \middle| grows with \left\{ ... \right\}; a bare \mid does not
\[
  \left\{\, x \in X \;\middle|\; \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \,\right\}
\]

\emptyset oder \varnothing: die leere Menge ist ein dänischer Buchstabe

∅ ist kein griechisches Phi und keine durchgestrichene Null. Es ist Ø, der Buchstabe des dänischen und norwegischen Alphabets, und es gelangte 1939 über Bourbakis Éléments de mathématique in die Mathematik. André Weil nahm es später in seinen Erinnerungen für sich in Anspruch: Das Zeichen stamme aus dem norwegischen Alphabet, mit dem er als Einziger in der Gruppe Bourbaki vertraut gewesen sei. Wer die Herkunft kennt, kann den Streit über den richtigen LaTeX-Befehl entscheiden, denn die beiden Befehle zeichnen zwei verschiedene Auffassungen desselben Buchstabens.

\emptyset ist die Fassung des Kerns, \varnothing stammt aus amssymb, und sie haben nicht dieselbe Form. In Computer Modern bei 10pt gemessen, ist \emptyset 5,00pt breit und 7,50pt hoch – ein schmales, aufrechtes Oval mit einem Strich hindurch –, während \varnothing 7,78pt breit und 5,82pt hoch ist, ein runder Kreis, den ein an beiden Enden überstehender Schrägstrich kreuzt. Die zweite Form kommt einem handgeschriebenen Ø viel näher und entspricht dem, was die meisten sich unter „leere Menge“ vorstellen. Die praktische Folgerung ist eine einzige Regel: amssymb laden, durchgehend \varnothing verwenden und \emptyset nicht auf halber Strecke zurückkehren lassen. Zwei Formen für dieselbe Menge in einem Dokument gehören zu dem, was eine Redaktion rot einkringelt.

\vdash, \models, \top, \bot: Turnstiles und Beweiszeichen

Alle vier gehören zum Standard-LaTeX, und alle vier sprechen über einen Beweis, nicht über eine Menge. ⊢ (\vdash) ist der Turnstile der syntaktischen Ableitbarkeit – Γ ⊢ φ, „φ lässt sich aus Γ ableiten“ –, ⊨ (\models) der doppelte Turnstile der semantischen Folgerung, „jedes Modell von Γ macht φ wahr“. Diese beiden auseinanderzuhalten ist der Gegenstand der halben mathematischen Logik; das falsche Zeichen zu wählen ist also keine typografische Kleinigkeit. Auch \models ist kein einzelnes Zeichen: fontmath.ltx setzt es aus einem senkrechten Strich und einer Doppellinie zusammen, \mathrel{|}\joinrel\Relbar. ⊣ (\dashv) ist das gespiegelte ⊢ und außerhalb der Logik die Schreibweise für adjungierte Funktoren, F ⊣ G. ⊤ und ⊥ sind die Konstanten wahr und falsch und zugleich größtes und kleinstes Element eines Verbands.

Auch hier entscheidet die Klasse. \vdash, \dashv und \models sind \mathrel und beanspruchen beidseitig eigenen Abstand; \top und \bot sind \mathord, weil sie normalerweise allein als Konstanten stehen. Wer L \bot M im Sinne von „L steht senkrecht auf M“ schreibt, erhält daher einen gedrängten Satz. Zuständig ist dafür \perp – derselbe Platz "3F, noch einmal als Relation deklariert. Gemessen ergibt L \bot M 25,38pt und L \perp M 30,93pt; die Differenz von 5,56pt ist wiederum der dicke Abstand, den eine Relation beidseitig nimmt. Auch \perp steht im Kern, ein Paket ist nicht nötig.

Welche Befehle brauchen amssymb? (und wohin gehören ∴ und ∵)

Genau sechs Befehle dieser Seite liegen außerhalb des LaTeX-Kerns: \nexists, \varnothing, \subsetneq, \complement, \therefore und \because. Alle sechs stammen aus amssymb, und ohne \usepackage{amssymb} in der Präambel bricht jeder von ihnen den Lauf mit ! Undefined control sequence. ab. Der siebte Außenseiter ist \implies, der zu amsmath gehört, nicht zu amssymb. Da amssymb seinerseits amsfonts lädt und ein Dokument mit Formeln ohnehin meist amsmath benötigt, decken zwei Zeilen in der Präambel alles ab, was auf dieser Seite vorkommt.

\usepackage{amsmath}  % \implies, \impliedby, \iff with \DOTSB
\usepackage{amssymb}  % \nexists \varnothing \subsetneq \complement \therefore \because

% \therefore is a relation: it already carries space on both sides
\[
  x^2 = 4 \quad \therefore x = \pm 2
\]

Zum Schluss noch eine verbreitete Legende. Von ∴ und ∵ heißt es oft, sie bräuchten manuellen Abstand – \therefore\ und Ähnliches. Das stimmt nicht. amssymb deklariert beide als \mathrel, sodass x \therefore y bereits den dicken Relationsabstand auf beiden Seiten trägt; ein zusätzliches \ verdoppelt die Lücke nur. Aufmerksamkeit verdient eher die Frage, wo sie überhaupt hingehören: Diese Zeichen gehören eher an die Tafel als auf die gedruckte Seite. In ausgearbeiteter Prosa liest sich „daher“ und „da“ fast immer besser, und ∴ bleibt am besten den Stellen vorbehalten, an denen der Platz wirklich knapp ist – etwa innerhalb einer abgesetzten Formel.

• Für die leere Menge durchgehend \varnothing (amssymb) verwenden und \emptyset nicht dazwischenmischen
• Inklusion mit \subseteq, echte Inklusion mit \subsetneq; das mehrdeutige \subset meiden oder seine Bedeutung eingangs festlegen
• Mengendifferenz ist \setminus; \backslash bleibt den Doppelnebenklassen vorbehalten
• Der Bedingungsstrich ist \mid, bei wachsenden Klammern \middle| – nie ein blankes |
• \land, \lor, \lnot in der Logik; \wedge, \vee für Dachprodukte und Verbände
• Für die Implikation entweder das kurze \Rightarrow oder das lange \implies wählen und dabei bleiben